Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/130

c’est l’expression de l’attraction de la sphère dont le rayon est $\mathrm {R}$ sur un point de son intérieur placé à la distance $r$ du centre. La comparaison de cette formule avec la formule (A) donne le théorème suivant :

L’attraction d’une sphère sur un point de la surface d’une petite sphère intérieure concentrique à la première est à l’attraction de la petite sphère sur un point de la surface de la grande comme la grande surface est à la petite.

De là il suit que l’attraction entière d’une sphère sur la surface de l’autre est la même pour chacune d’elles.

Je vais maintenant considérer l’attraction mutuelle de deux sphères l’une sur l’autre. Soient $\mathrm {R}$ et $\mathrm {R} '$ leurs rayons, $\rho$ et $\rho '$ leurs densités et $r$ la distance de leurs centres. On peut considérer la première sphère comme si sa masse était réunie à son centre et attirait les points extérieurs suivant une loi d’attraction exprimée par la formule (A). En vertu de l’égalité de l’action à la réaction, un point attire une sphère comme il en est attiré ; ainsi, pour avoir l’action de la seconde sphère sur la première, il faut supposer la loi d’attraction exprimée par la fonction (A). En désignant donc cette fonction par ${\grave {}}\varphi (r),$ on aura

${\grave {}}\varphi _{\text{ı}}(r)={\frac {2\pi \rho \mathrm {R} ^{2}}{r}}{\frac {\partial }{\partial \mathrm {R} }}{\frac {\psi _{\text{ıı}}(\mathrm {R} +r)-\psi _{\text{ıı}}(r-\mathrm {R} )}{\mathrm {R} }},$

ce qui donne $\int rdr{\grave {}}\varphi _{\text{ı}}(r),$ que nous désignerons par ${\grave {}}\psi (r),$ égal à

$2\pi \rho \mathrm {R} ^{2}{\frac {\partial }{\partial \mathrm {R} }}{\frac {\psi _{\text{ııı}}(\mathrm {R} +r)-\psi _{\text{ııı}}(r-\mathrm {R} )}{\mathrm {R} }}.$

Si l’on substitue cette valeur de ${\grave {}}\psi (r)$ au lieu de $\psi (r)$ dans la formule (A), cette formule donnera, pour l’attraction de la seconde sphère sur la première,

(E)

$\quad 4\pi ^{2}\rho \rho '\mathrm {R^{2}R'^{2}} {\frac {\partial ^{3}}{\partial r\partial \mathrm {R} \partial \mathrm {R} '}}{\frac {\left\{{\begin{aligned}&\psi _{v}(r+\mathrm {R+R'} )-\psi _{v}(r+\mathrm {R-R'} )\\-&\psi _{v}(r-\mathrm {R+R'} )+\psi _{v}(r-\mathrm {R-R'} )\end{aligned}}\right\}}{r\mathrm {RR'} }}\,;$

ce sera aussi l’attraction de la première sphère sur la seconde, c’est à-dire que l’on peut supposer les deux sphères réunies respectivement