Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/148

dirigée vers l’origine des $x$ et égale à $4\pi \mathrm {HK} c{\frac {\partial .\rho c}{\partial x}},$ ce qui donne, en nommant $dt$ l’élément du temps,

${\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2}}}=-4\pi \mathrm {HK} c{\frac {\partial .\rho c}{\partial x}}.$

Soit $\mathrm {X}$ la coordonnée horizontale de la molécule $\mathrm {A}$ dans l’état d’équilibre, et faisons $x=\mathrm {X} +z,\ z$ étant une quantité très-petite par rapport à $\mathrm {X} .$ Supposons

${\frac {\frac {\partial .\rho c}{\partial x}}{\rho c}}=(1-{\text{ϐ}}){\frac {\frac {\partial \rho }{\partial x}}{\rho }}.$

En nommant $(\rho )$ la densité du gaz dans l’état d’équilibre, on aura

$\rho =(\rho ){\frac {d\mathrm {X} }{d\mathrm {X} +dz}}.$

En négligeant le carré de $dz$ et observant que ${\frac {\partial \rho }{\partial x}}$ est égal à ${\frac {\partial \rho }{\partial \mathrm {X} }}$ on aura

${\frac {\partial \rho }{\partial x}}=-(\rho ){\frac {\partial ^{2}z}{\partial \mathrm {X} ^{2}}}.$

On a ensuite

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\,;$

on aura donc

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=4\pi \mathrm {HK} (\rho )c^{2}(1-{\text{ϐ}}){\frac {\partial ^{2}z}{\partial \mathrm {X} ^{2}}},$

équation dans laquelle on peut supposer que $c$ se rapporte, ainsi que $(\rho ),$ à l’état d’équilibre, puisque l’on néglige les termes de l’ordre $z^{2}.$ La pression du gaz dans l’état d’équilibre étant exprimée par $\mathrm {P}$, on a, par le Chapitre précédent,

$\mathrm {P} =2\pi \mathrm {HK} (\rho )^{2}c^{2}\,;$

on aura donc

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {2\mathrm {P} }{(\rho )}}(1-{\text{ϐ}}){\frac {\partial ^{2}z}{\partial \mathrm {X} ^{2}}}.$

Ainsi, la vitesse du son ou l’espace qu’il parcourt dans une seconde