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atmosphères de la Terre et des corps célestes. Je vais considérer ici spécialement l’atmosphère terrestre.

Imaginons un tuyau conique très-étroit dont le sommet soit au centre de la Terre et qui s’élève jusqu’aux limites de l’atmosphère. Représentons par $\mathrm {R}$ le rayon terrestre et par $s$ la hauteur, au-dessus de la surface de la Terre, d’une molécule aérienne située sur l’axe du cône ; sa pesanteur sera ${\frac {g}{(\mathrm {R} +s)^{2}}},\ {\frac {g}{\mathrm {R} ^{2}}}$ étant la pesanteur à la surface de la Terre. Soient $c$ la chaleur de la molécule, $u$ la température de l’espace ou de la partie du tuyau qui correspond à cette molécule ; on aura

$k\rho c^{2}=qu\,;$

ensuite on aura, par ce qui précède, dans l’état d’équilibre,

$0=-{\frac {\delta \mathrm {P} }{\rho }}-{\frac {g}{(\mathrm {R} +s)^{2}}}\delta s.$

On peut ici changer $\delta$ en $d,$ parce que l’on ne doit considérer que la seule coordonnée $s,$ et alors on a

$d\mathrm {P} =-{\frac {g\rho ds}{(\mathrm {R} +s)^{2}}}\,;$

$\mathrm {P}$ est égal à $k\rho ^{2}c^{2},$ et, dans l’état d’équilibre, il exprime la pression. On a donc

$\mathrm {P} =q\rho u,$

ce qui donne

$d\mathrm {P} =-{\frac {g\mathrm {P} ds}{qu(\mathrm {R} +s)^{2}}},$

d’où l’on tire, en intégrant,

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&(\mathrm {P} )c^{-\int {\frac {gds}{qu(\mathrm {R} +s)^{2}}}},\\\\\rho =&{\frac {(\rho )(u)}{u}}c^{-\int {\frac {gds}{qu(\mathrm {R} +s)^{2}}}},\end{aligned}}$

$(\mathrm {P} ),(\rho ),(u)$ étant ce que deviennent $\mathrm {P} ,\rho$ et $u$ à la surface de la Terre, et $c$ étant ici le nombre dont le \logarithme hyperbolique est l’unité. Ces deux équations servent de fondement aux théories du baromètre et des réfractions.

Pour déterminer la vitesse du son dans le sens vertical, j’observe