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et l’on en conclut, par ce qui précède,

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {d\mathrm {P} }{\rho d\mathrm {X} }}.$

Ensuite, le peu de durée d’une vibration aérienne permet de supposer insensible la perte qu’éprouve la chaleur absolue ch-î de la molécule vibrante pendant la courte durée de sa vibration, durée qui n’excède pas une tierce. Considérant donc cette chaleur comme une fonction \mathrm V de la pression $\mathrm {P}$ et de la densité $\rho$ du gaz, ce que l’on peut faire puisque, cette pression et cette densité étant déterminées, la chaleur absolue $c+i$ et la chaleur libre $c$ sont déterminées, on peut supposer \mathrm V constant pendant la durée de la vibration, ce qui donne

$0=\mathrm {{\frac {dP}{P}}P{\frac {\partial V}{\partial P}}+{\frac {d\rho }{\rho }}\rho {\frac {\partial V}{\partial \rho }}} ,$

d’où l’on tire l’expression précédente ${\sqrt {4h\varepsilon (1-{\text{ϐ}})}}$ de la vitesse du son et le théorème que j’ai publié dans les Annales de Physique et de Chimie de 1816, suivant lequel il faut, pour avoir cette vitesse, multiplier la formule ne\thetaonienne ${\sqrt {2h\varepsilon }}$ par la racine carrée du rapport $\mathrm {{\frac {C}{C_{\text{ı}}}},\ C}$ étant la chaleur spécifique du gaz lorsque la pression est constante, et $\mathrm {C} _{\text{ı}}$ étant sa chaleur spécifique lorsque son volume ou sa densité sont constants.

Ayant supposé précédemment

${\frac {d.\rho c}{\rho c}}=(1-{\text{ϐ}}){\frac {d\rho }{\rho }},$

il en résulte

${\frac {dc}{c}}=-{\text{ϐ}}{\frac {d\rho }{\rho }}.$

La supposition de la chaleur absolue $c+i$ constante donne $dc=-di\,;$ on a donc

$di={\text{ϐ}}c{\frac {d\rho }{\rho }}\,;$

ainsi la chaleur latente ou combinée $i$ de l’air s’accroît par la pression,