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LIVRE XIII.

${\begin{aligned}\cos ^{2}v=&{\frac {1}{2}}\left(1+\cos ^{2}\varepsilon \right)+{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\varepsilon \cos 2\varphi ,\\\cos ^{2}v\sin 2\psi =&\cos \varepsilon \sin 2\varphi ,\\\cos ^{2}v\cos 2\psi =&{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\varepsilon +{\frac {1}{2}}\left(1+\cos ^{2}\varepsilon \right)\cos 2\varphi \,;\end{aligned}}$

la formule (a) devient ainsi

$(b)\qquad \left\{{\begin{aligned}&{\frac {3\mathrm {L} }{2r^{3}}}\left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\cos ^{2}\theta \sin ^{2}\varepsilon +{\frac {1}{4}}\left(1+\cos ^{2}\varepsilon \right)\sin ^{2}\theta -{\frac {1}{3}}\\&-{\frac {1}{2}}\left(\cos ^{2}\theta -{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{2}\varepsilon \cos 2\varphi \end{aligned}}\right\}\\\\&+{\frac {3\mathrm {L} }{2r^{3}}}\sin \theta \cos \theta \left\{{\begin{aligned}\sin &\varepsilon \cos \varepsilon \sin(nt+\varpi )\\&-\sin \varepsilon {\frac {1+\cos \varepsilon }{2}}\sin(nt+\varpi -2\varphi )\\&+\sin \varepsilon {\frac {1-\cos \varepsilon }{2}}\sin(nt+\varpi +2\varphi )\end{aligned}}\right\}\\\\&+{\frac {3\mathrm {L} }{4r^{3}}}\sin ^{2}\theta \left\{{\begin{aligned}\cos ^{4}&{\frac {1}{2}}\varepsilon \cos(2nt+2\varpi -2\varphi )\\&+\sin ^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon \cos(2nt+2\varpi +2\varphi )\\&+{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\varepsilon \cos(2nt+2\varpi )\end{aligned}}\right\}.\end{aligned}}\right.$

Si l’on ne considère, dans les observations des marées, que l’excès d’une haute mer sur l’une des deux basses mers voi\sines ; si, de plus, on prend ces excès en nombre égal, dans les syzygies et dans les quadratures des équinoxes du printemps, des équinoxes d’automne, des solstices d’été et des solstices d’hiver ; enfin, si, pour détruire l’effet de la parallaxe lunaire, on considère les trois syzygies ou les trois quadratures les plus voisines de l’équinoxe ou du solstice, en doublant les observations relatives à la syzygie ou à la quadrature intermédiaire, les résultats de l’observation ne dépendront que des flux relatifs aux angles $2nt+2\varpi ,\ 2nt+2\varpi -2\varphi ,\ 2nt+2\varpi +2\varphi ,$ flux dont la période est d’environ un demi-jour et dont les deux premiers sont, dans nos ports, beaucoup plus grands que tous les autres flux. $\sin ^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon$ étant une