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LIVRE XIII.

produit dans l’expression de la hauteur de la mer le terme

$(1+m'x){\frac {\mathrm {BL'} }{\overline {r'^{3}}}}\cos ^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon '\cos(2nt+2\varpi -2m't+2m'y-2\gamma ).$

Il est facile d’en conclure que les termes dus à l’action des astres supposés produisent, dans cette expression, les termes

${\begin{aligned}&\left[1+\left(m'+{\frac {s}{2}}\right)x\right]{\frac {\mathrm {BL'} }{\overline {r'^{3}}}}\cos ^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon '\left(f-{\frac {3}{2}}h\right)\\&\quad \times \cos \left[2nt+2\varpi -2m't-st-\theta '-2\gamma +2\left(m'+{\frac {s}{2}}\right)y\right],\\\\-&\left[1+\left(m'-{\frac {s}{2}}\right)x\right]{\frac {\mathrm {BL'} }{\overline {r'^{3}}}}\cos ^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon '\left(f+{\frac {3}{2}}h\right)\\&\quad \times \cos \left[2nt+2\varpi -2m't+st+\theta '-2\gamma +2\left(m'-{\frac {s}{2}}\right)y\right].\end{aligned}}$

Nous avons supposé, au moment de la haute mer,

$nt-m't+\varpi -\gamma +m'y=i'\pi +l',$

$i'$ étant un nombre entier.

Les deux termes précédents deviennent ainsi

${\begin{aligned}&\left[1+\left(m'+{\frac {s}{2}}\right)x\right]{\frac {\mathrm {BL'} }{\overline {r'^{3}}}}\cos ^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon '\left(f-{\frac {3}{2}}h\right)\cos(2l'-st-\theta '+sy),\\\\-&\left[1+\left(m'-{\frac {s}{2}}\right)x\right]{\frac {\mathrm {BL'} }{\overline {r'^{3}}}}\cos ^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon '\left(f+{\frac {3}{2}}h\right)\cos(2l'+st+\theta '-sy).\end{aligned}}$

On a, par ce qui précède,

$t=\mathrm {T} +y+t'',$

ce qui réduit les deux termes précédents à ceux-ci :

${\begin{aligned}&\left[1+\left(m'+{\frac {s}{2}}\right)x\right]{\frac {\mathrm {BL'} }{\overline {r'^{3}}}}\cos ^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon '\left(f-{\frac {3}{2}}h\right)\cos(s\mathrm {T} +\theta '+st''-2l'),\\\\-&\left[1+\left(m'-{\frac {s}{2}}\right)x\right]{\frac {\mathrm {BL'} }{\overline {r'^{3}}}}\cos ^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon '\left(f+{\frac {3}{2}}h\right)\cos(s\mathrm {T} +\theta '+st''+2l').\end{aligned}}$

Ces deux termes, développés en séries, ajouteront donc à l’expres-