déduit une nouvelle démonstration du résultat dont il s’agit. Enfin M. Ivory est parvenu au même résultat par une transformation très-heureuse des coordonnées, sans recourir aux séries. Tel a été le progrès des recherches par lesquelles les géomètres sont parvenus à une théorie complète des attractions des ellipsoïdes.
Maclaurin a fait voir qu’une masse fluide homogène tournant autour d’un axe pouvait être rigoureusement en équilibre avec une figure elliptique. Mais y a+il d’autres figures d’équilibre lorsque le sphéroïde est très-peu différent de la sphère ? J’ai prouvé, sans connaître sa figure, que la pesanteur à sa surface suit la même loi que si cette figure était celle d’un ellipsoïde de révolution. M. Legendre a fait voir ensuite que, si la figure est de révolution, elle doit, pour l’équilibre, être elliptique, et j’ai reconnu que cela est exact, sans supposer une figure de révolution. Mais d’Alembert a prouvé que plusieurs figures elliptiques d’équilibre correspondent à une même durée de rotation. J’ai démontré ensuite qu’il n’y en a que deux, et j’ai déterminé la limite de la durée de rotation que la masse peut avoir sans se dissiper. Mais le véritable problème à résoudre consiste à déterminer la figure qu’une masse fluide doit prendre lorsque, ses molécules ayant été primitivement animées de forces quelconques, elles parviennent à la longue, par leur frottement mutuel et par leur ténacité, à un état flxe d’équilibre. J’ai fait voir, dans le Livre III de la Mécanique céleste, que le fluide finit par prendre la figure d’un ellipsoïde de révolution dont l’équateur est le plan primitif du maximum des aires décrites par chaque molécule autour du centre de gravité de la masse. Le mouvement de rotation ainsi que les axes de l’ellipsoïde de révolution sont déterminés par ce maximum ; il y a toujours une figure possible d’équilibre, et il n’y en a qu’une.
Enfin j’ai donné, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1782 et dans le Livre III de la Mécanique céleste, une théorie générale des attractions des sphéroïdes. La fonction qui exprime la somme des molécules attirantes divisées respectivement par leurs distances au point attiré a l’avantage d’exprimer, par ses différences
