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LIVRE XIV

Soient

${\frac {p}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}},\qquad {\frac {q}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}},\qquad {\frac {r}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}$

les cosinus des angles que l’axe instantané de rotation de la Terre fait avec le troisième axe, le second et le premier de ses axes principaux ; soit encore ${\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}$ la vitesse angulaire de rotation autour de cet axe instantané ; on aura, par les n^o 26 et 28 du Livre I, les équations

${\begin{aligned}\mathrm {C} dp+(\mathrm {B-A} )qrdt=&-d\mathrm {N} \cos \theta -d\mathrm {N} '\sin \theta ,\\\mathrm {A} dq+(\mathrm {C-B} )prdt=&-(d\mathrm {N} \sin \theta +d\mathrm {N} '\cos \theta )\sin \varphi +d\mathrm {N} ''\cos \varphi ,\\Bdr+(\mathrm {A-C} )pqdt=&-(d\mathrm {N} \sin \theta +d\mathrm {N} '\cos \theta )\cos \varphi -d\mathrm {N} ''\sin \varphi .\end{aligned}}$

Substituant pour ${\frac {d\mathrm {N} }{dt}},{\frac {d\mathrm {N} '}{dt}},{\frac {d\mathrm {N} ''}{dt}}$ leurs valeurs précédentes, on aura

(F)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {C} {\frac {dp}{dt}}+(\mathrm {B-A} )qr=&{\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \varphi }},\\\\\mathrm {A} {\frac {dq}{dt}}+(\mathrm {C-B} )pr=&{\frac {\sin \varphi }{\sin \theta }}\left({\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \psi }}+\cos \theta {\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \varphi }}\right)-{\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \theta }}\cos \varphi ,\\\\\mathrm {B} {\frac {dr}{dt}}-(\mathrm {C-A} )pq=&{\frac {\cos \varphi }{\sin \theta }}\left({\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \psi }}+\cos \theta {\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \varphi }}\right)+{\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \theta }}\sin \varphi .\end{aligned}}\right.$

C’est sous cette forme générale que M. Poisson a présenté les équations (G) du n^o 4 du Livre V.

Si l’on développe $\mathrm {V} '$ ou

$\mathrm {L} \int {\frac {dm}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}$

dans une série ordonnée suivant les puissances négatives de la distance $r_{1}$ de l’astre $\mathrm {L}$ au centre de la Terre, on aura, en ne portant l’approximation que jusqu’aux termes de l’ordre ${\frac {1}{r_{1}^{3}}},$

$\mathrm {V} '={\frac {\mathrm {LT} }{r_{1}}}-{\frac {\mathrm {L} }{2}}\int {\frac {dm\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)}{r_{1}^{3}}}+{\frac {3\mathrm {L} }{2}}\int {\frac {dm\left(xx'+yy'+zz'\right)^{2}}{r_{1}^{5}}},$