Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/304

290

MÉCANIQUE CÉLESTE

$y',z'.$ Si l’on différentie ces valeurs, et qu’après les différentiations on fasse, pour plus de simplicité, $\psi$ nul, on aura

${\begin{aligned}dx'=&d\varphi (z'\sin \theta -y'\cos \theta )+y'd\psi ,\\dy'=&x'\cos \theta d\varphi -x'd\psi +z'd\theta ,\\dz'=&-x'd\varphi \sin \theta -'yd\theta .\end{aligned}}$

Substituant ces valeurs dans l’équation précédente aux différences partielles, on aura, en comparant séparément les coefficients de $d\varphi ,d\psi$ et $d\theta ,$ les trois équations suivantes :

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \varphi }}=&\cos \theta \left(x'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y'}}-y'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x'}}\right)+\sin \theta \left(z'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x'}}-x'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z'}}\right),\\\\{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \psi }}=&y'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x'}}-x'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y'}},\\\\{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \theta }}=&z'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y'}}-y'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z'}},\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$z'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x'}}-x'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z'}}={\frac {{\cfrac {\partial \mathrm {V} }{\partial \varphi }}+\cos \theta {\cfrac {\partial \mathrm {V} }{\partial \psi }}}{\sin \theta }}.$

Maintenant, les variables $\varphi ,\psi$ et $\theta$ étant les mêmes pour toutes les molécules $dm$, il est clair que, si l’on fait

$\mathrm {V} '=\int \mathrm {V} dm=\mathrm {L} \int {\frac {dm}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}},$

on aura

${\begin{aligned}\int dm\left(x'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y'}}-y'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x'}}\right)=&-{\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \psi }},\\\\\int dm\left(x'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z'}}-z'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x'}}\right)=&-{\frac {{\cfrac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \varphi }}-\cos \theta {\cfrac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \psi }}}{sin\theta }}\\\\\int dm\left(y'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z'}}-z'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y'}}\right)=&-{\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \theta }}.\end{aligned}}$

Les seconds membres de ces équations sont les valeurs de ${\frac {d\mathrm {N} }{dt}},{\frac {d\mathrm {N} '}{dt}},{\frac {d\mathrm {N} ''}{dt}},$ présentées sous une autre forme.