Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/307

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

293

LIVRE XIV

équations suivantes, données dans le n^o 26 du Livre I,

{\begin{aligned}d\varphi -d\psi \cos \theta =&pdt,\\d\psi \sin \theta \sin \varphi -d\theta \cos \varphi =&qdt,\\d\psi \sin \theta \cos \varphi +d\theta \sin \varphi =&rdt.\end{aligned}}

On peut substituer ${\frac {d\varphi }{dt}}$ au lieu de $p$ dans les termes $(\mathrm {C-B} )pr$ et $-(\mathrm {C-A} )pq$ des équations (F) ; car, la différence ${\frac {d\varphi }{dt}}-p$ étant égale à $-{\frac {d\psi }{dt}}\cos \theta ,$ et les valeurs de $q$ et de $r$ étant de l’ordre de ${\frac {d\psi }{dt}}$ et ${\frac {d\theta }{dt}}$ on ne fait que négliger des termes de l’ordre des carrés et des produits des différentielles $d\psi$ et $d\theta ,$ et qui, de plus, ont les facteurs très-petits $\mathrm {C-A}$ et $\mathrm {C-B} .$ Cela posé, si l’on multiplie la seconde des équations (F) par $\cos \varphi ,$ et qu’on retranche le produit de la troisième de ces équations multipliée par $\sin \varphi ,$ on formera la suivante :

{\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {A+B} }{2}}.d{\frac {r\sin \varphi -q\cos \varphi }{dt}}\\\\-&{\frac {\mathrm {A-B} }{2}}.d{\frac {q\cos \varphi +r\sin \varphi }{dt}}\\\\-&\mathrm {C} {\frac {d\varphi }{dt}}(r\cos \varphi +q\sin \varphi )={\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \theta }}.\end{aligned}}

On a

{\begin{aligned}r\sin \varphi -q\cos \varphi =&{\frac {d\theta }{dt}},\\r\cos \varphi +q\sin \varphi =&{\frac {d\psi }{dt}}\sin \theta ,\\r\sin \varphi +q\cos \varphi =&{\frac {d\psi }{dt}}\sin \theta \sin 2\varphi -{\frac {d\theta }{dt}}\cos 2\varphi \,;\end{aligned}}

$p$ serait égal à une constante $n$ si la Terre était un solide de révolution, et, dans le cas général, la valeur de $p$ est une constante $n$ plus le produit de $\mathrm {A-B}$ et de la force perturbatrice par $\sin 2\varphi$ et $\cos 2\varphi \,;$ en négligeant donc ce produit et celui des différentielles $d\psi$ et $d\theta ,$ on pourra supposer ${\frac {d\varphi }{dt}}=n$ dans l’équation précédente, qui devient

{\frac {\mathrm {A+B} }{2}}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}-\mathrm {C} n{\frac {d\psi }{dt}}\sin \theta -{\frac {\mathrm {A-B} }{2}}d\left({\frac {d\psi }{dt}}\sin \theta \sin 2\varphi -{\frac {d\theta }{dt}}\cos 2\varphi \right)={\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \theta }}.