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MÉCANIQUE CÉLESTE

Si le sphéroïde était de révolution, le terme qui a pour facteur $\mathrm {A-B}$ disparaîtrait ; dans tous les cas il est insensible, parce que, vu la rapidité du mouvement de rotation, les termes dépendants de $\sin 2\varphi$ et de $\cos 2\varphi ,$ déjà insensibles par eux-mêmes, acquièrent encore par les intégrations le grand diviseur $2n.$ L’équation précédente devient ainsi

$(i)\qquad \qquad \qquad {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}-\mathrm {C} n{\frac {d\psi }{dt}}\sin \theta ={\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \theta }}.$

On trouvera de la même manière, en multipliant la seconde des équations (F) par $\sin \varphi$ et en l’ajoutant à la troisième multipliée par $\cos \varphi ,$

${\frac {\mathrm {A+B} }{2}}d{\frac {{\cfrac {d\varphi }{dt}}\sin \theta }{dt}}-{\frac {\mathrm {A-B} }{2}}d{\frac {{\cfrac {d\varphi }{dt}}\sin \theta \cos 2\varphi +{\cfrac {d\theta }{dt}}\sin 2\varphi }{dt}}+\mathrm {C} n{\frac {d\theta }{dt}}$

$={\frac {1}{\sin \theta }}\left({\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \psi }}+\cos \theta {\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \varphi }}\right)$

Si l’on néglige, comme nous venons de le faire, les termes multipliés par $\mathrm {A-B}$ et par ${\frac {d\psi }{dt}}\cos 2\varphi$ ou par ${\frac {d\theta }{dt}}\sin 2\varphi \,;$ si l’on observe, de plus, que la rapidité du mouvement de la Terre permet de négliger les termes dépendants de $\sin \varphi$ et de $\cos \varphi ,$ et par conséquent ${\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \varphi }}$ l’équation précédente donnera

$(i')\qquad \qquad \qquad {\frac {\mathrm {A+B} }{2}}d{\frac {{\cfrac {d\varphi }{dt}}\sin \theta }{dt}}+\mathrm {C} n{\frac {d\theta }{dt}}={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \psi }}.$

Si l’on n’a égard, dans les équations $(i)$ et $(i'),$ qu’aux termes de $\theta$ et $\psi$ qui dépendent de l’action des astres, et si l’on considère que le mouvement des astres est fort lent par rapport au mouvement rapide de rotation de la Terre, on pourra négliger dans ces équations les secondes différentielles de $\theta$ et de $\psi ,$ ainsi que les produits de leurs premières différences, et alors on a

${\begin{aligned}{\frac {d\psi }{dt}}=&-{\frac {\cfrac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \theta }}{\mathrm {C} n\sin \theta }}\\\\{\frac {d\theta }{dt}}=&\quad {\frac {\cfrac {\partial \mathrm {V} '}{\partial \psi }}{\mathrm {C} n\sin \theta }}.\end{aligned}}$