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MÉCANIQUE CÉLESTE

On aura donc $d\int \mathrm {V} ''dt$ en faisant tout varier dans cette intégrale, à l’exception des angles introduits par les inégalités du mouvement des astres, ce qui donne

$d\int \mathrm {V} ''dt=\mathrm {V} ''-\int \left({\frac {d\mathrm {V} ''}{dt}}\right)^{\text{ı}}dt,$

la différence partielle $\left({\frac {d\mathrm {V} ''}{dt}}\right)^{\text{ı}}$ étant uniquement relative à la variation du mouvement des astres. L’équation précédente devient ainsi

$p^{2}+q^{2}+r^{2}-\mathrm {\frac {2C-A-B}{2C}} \left(q^{2}+r^{2}\right)+\mathrm {\frac {A-B}{2C}} \left(q^{2}-r^{2}\right)$

$=n^{2}+\mathrm {\frac {2V''}{C}} -{\frac {2}{\mathrm {C} }}\int \left({\frac {d\mathrm {V} ''}{dt}}\right)^{\text{ı}}dt.$

On a, par ce qui précède,

${\begin{aligned}q^{2}+r^{2}=&\left({\frac {d\psi }{dt}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta +\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2},\\\\q^{2}-r^{2}=&\left[\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {d\psi }{dt}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \right]\cos 2\varphi -2{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d\psi }{dt}}\sin \theta \sin 2\varphi \,;\end{aligned}}$

ces termes sont du second ordre, en considérant comme des quantités du premier ordre celles qui sont de l’ordre $sl,\ lt$ étant la précession des équinoxes. En ne conservant donc que les quantités du premier ordre, qui sont multipliées par le sinus ou le cosinus d’un angle croissant avec une grande lenteur ou dans lequel le coefficient du temps soit de l’ordre $l,$ on voit que $q^{2}+r^{2}$ et $q^{2}-r^{2}$ ne renferment point de termes semblables. Ainsi, en n’ayant égard qu’à des quantités de ce genre, on peut supposer

$p^{2}+q^{2}+r^{2}=n^{2}+\mathrm {\frac {2V''}{C}} -{\frac {2}{\mathrm {C} }}\int \left({\frac {d\mathrm {V} ''}{dt}}\right)^{\text{ı}}dt.$

Maintenant, ne considérons dans $\mathrm {V} ''$ que la partie qui est indépendante de $\sin 2\varphi$ et de $\cos 2\varphi .$ Cette partie est, par ce qui précède.

${\frac {3\mathrm {L} }{4r_{1}^{5}}}(\mathrm {2C-A-B} )\left[\mathrm {X^{2}+(Y\cos \theta -Z\sin \theta )^{2}} -{\frac {2}{3}}r_{1}^{2}\right].$

Dans le cas d’un sphéroïde de révolution, dans lequel $\mathrm {A=B} ,$ on a vu dans le n^o 8 du Livre V, et il résulte, de la valeur donnée ci-dessus