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LIVRE XIV

Si, dans l’expression de $\mathrm {V} '$ donnée ci-dessus, on néglige les termes multipliés par $\sin \varphi$ et par $\cos ^{2}\varphi ,$ et si l’on suppose

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&{\frac {3\mathrm {L} }{r_{1}^{5}}}\mathrm {(Y\cos \theta -Z\sin \theta )(Y\sin \theta +Z\cos \theta )} ,\\\\\mathrm {P} '=&{\frac {3\mathrm {L} }{r_{1}^{5}}}\mathrm {X(Y\sin \theta +Z\cos \theta )} ,\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {d\psi }{dt}}\sin \theta =&\quad {\frac {\mathrm {2C-A-B} }{2n\mathrm {C} }}\mathrm {P} ,\\{\frac {d\theta }{dt}}=&-{\frac {\mathrm {2C-A-B} }{2n\mathrm {C} }}\mathrm {P} '.\end{aligned}}$

Ces équations sont identiquement celles que j’ai données dans les n^o 5 et 6 du Livre V. Elles sont les plus simples auxquelles on puisse parvenir.

Si l’on multiplie la première des équations (F) par $p$, la seconde par $q$ et la troisième par $r$, qu’ensuite on les ajoute, et que, dans le second membre de l’équation résultante, on substitue pour $p,q$ et $r$ leurs valeurs, on aura

$\mathrm {C} pdp+\mathrm {A} qdq+\mathrm {B} rdr=\mathrm {{\frac {\partial V'}{\partial \varphi }}d\varphi +{\frac {\partial V'}{\partial \psi }}d\psi +{\frac {\partial V'}{\partial \theta }}d\theta } ,$

ce qui donne, en intégrant,

$\mathrm {C} p^{2}+\mathrm {A} q^{2}+\mathrm {B} r^{2}=\mathrm {const} .+2d\int \mathrm {V} 'dt,$

la caractéristique différentielle $d$ se rapportant aux seules variations du mouvement du sphéroïde. Ainsi, en désignant par $\mathrm {V} ''$ la fonction $\mathrm {V} '-{\frac {\mathrm {LT} }{r_{1}}},$ on aura

$\mathrm {C} p^{2}+\mathrm {A} q^{2}+\mathrm {B} r^{2}=\mathrm {const} .+2d\int \mathrm {V} ''dt.$

Quelque loin que l’on porte l’approximation de la valeur de $\int \mathrm {V} ''dt,$ tout ce qui dépend de la précession $\psi$ des équinoxes, de l’inclinaison de l’axe terrestre à l’écliptique et de l’angle $nt+\varepsilon ,\ nt$ étant le mouvement de rotation de la Terre, ne peut avoir été introduit que par ces quantités, puisque les coordonnées des astres ne les renferment point.