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LIVRE XIV

et l’on a, en vertu des expressions de $p,q$ et $r$ du numéro précédent,

$\mathrm {A} \sin \theta (q\sin \varpi +r\cos \varphi )+(\mathrm {B-A} )\sin \theta .r\cos \varphi$

$=\mathrm {A{\frac {d\psi }{dt}}\sin ^{2}\theta +{\frac {B-A}{2}}{\frac {d\psi }{dt}}\sin ^{2}\theta +{\frac {B-A}{2}}\left\{{\begin{aligned}&{\frac {d\psi }{dt}}\sin ^{2}\theta \cos 2\varphi \\+&{\frac {d\theta }{dt}}\sin \theta \ \sin 2\varphi \end{aligned}}\right\}.}$

L’équation précédente $(l)$ deviendra, en négligeant les termes multipliés par le sinus et le cosinus de $2\varphi ,$ ce qui, par le numéro précédent, réduit $p$ à la constante $n,$

(2)

$n\mathrm {C\cos \theta -{\frac {A+B}{2}}{\frac {d\psi }{dt}}\sin ^{2}\theta +{\frac {TL}{T+L}}} {\frac {xdy-ydx}{dt}}=\mathrm {const} .$

L’aire tracée dans l’instant $dt$ par le rayon vecteur de la Lune est ${\frac {1}{2}}(xdy-ydx).$ En désignant par $a$ le demi-grand axe de l’orbe lunaire, par $e$ son excentricité et par $\gamma$ l’inclinaison de cet orbe à l’écliptique, on a, en regardant cet orbe comme une ellipse variable,

$xdy-ydx=a^{2}m'dt\cos \gamma .{\sqrt {1-e^{2}}},$

$m't$ étant le moyen mouvement de la Lune. La partie de $\mathrm {V} '$ qui produit la nutation de l’équateur terrestre est, par le numéro précédent,

$-{\frac {3\mathrm {L} }{4r_{1}^{'3}}}(\mathrm {2C-A-B} )\gamma \sin \theta \cos \theta \cos \Lambda ,$

$\Lambda$ étant la longitude du nœud de l’orbe lunaire. J’ai donné, dans le n^o 1 du Supplément au Traité de Mécanique céleste, les expressions différentielles des éléments d’une ellipse variable par une force perturbatrice $\mathrm {R} .$ Cette force est augmentée, par la considération de l’aplatissement de la Terre, de la fonction $-\mathrm {V} ',$ comme il est facile de le voir par le numéro cité. Il résulte encore, des expressions différentielles du demi-grand axe et de l’excentricité $e,$ que la partie de $\mathrm {V} '$ dont je viens de parler ne produit aucun terme sensible dans ces expressions, en sorte que l’on peut supposer, relativement à cette partie, $a$ et $e$ constants. L’équation (2) donne donc, en y substituant pour ${\frac {xdy-ydx}{dt}}$ sa valeur