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MÉCANIQUE CÉLESTE

précédente, en désignant par $\delta \theta$ et $\delta \gamma$ les nutations de l’équateur terrestre et de l’orbe lunaire, et en observant que ${\frac {d\psi }{dt}}$ peut être négligé relativement à $\delta \theta ,$ qui par l’intégration a acquis pour diviseur le très-petit coefficient du temps dans l’expression du mouvement des nœuds de l’orbe lunaire, enfin en négligeant le carré $e^{2},$

$n\mathrm {C} \delta \theta \sin \theta =-\mathrm {\frac {TL}{T+L}} a^{2}m'\delta \gamma \sin \gamma .$

Telle est la relation fort simple qui existe entre les nutations de l’équateur terrestre et de l’orbe lunaire.

On a, par le n^o 5 du Livre V,

$n\mathrm {C} \delta \theta \sin \theta ={\frac {3m^{2}}{4}}{\frac {\lambda c'}{f'}}(\mathrm {2C-A-B} )\sin \theta \cos \theta \cos(f't+{\text{ϐ}}),$

$c'$ étant l’inclinaison de l’orbe lunaire, que nous désignons ici par $\gamma$, et $-f't-{\text{ϐ}}$ étant la longitude de son nœud ascendant. On a

$m\lambda ={\frac {\mathrm {L} }{a^{3}}},\qquad {\frac {\mathrm {T+L} }{a^{3}}}=m'^{2}\,;$

on aura donc, en comparant les deux expressions précédentes de $\delta \theta$ et désignant $f't$ par $(g-1)m't,$

$\delta \gamma =-{\frac {3}{4a^{2}}}{\frac {\mathrm {2C-A-B} }{(g-1)\mathrm {T} }}\sin \theta \cos \theta \cos \left[(g-1)m't+{\text{ϐ}}\right].$

$\alpha h$ étant l’ellipticité du sphéroïde terrestre, $\alpha \varphi$ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur, et $\mathrm {D}$ étant le rayon moyen du sphéroïde terrestre ; on a donc

$\delta \gamma =-\left(\alpha h-{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\mathrm {D} ^{2}}{a^{2}}}{\frac {\sin \theta \cos \theta }{g-1}}\cos \left[(g-1)m't+{\text{ϐ}}\right].$