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LIVRE XIV

Ces équations donnent

${\begin{aligned}{\frac {\partial \sin v}{\partial \psi }}=&\sin \theta \cos \upsilon \cos s,\\{\frac {\partial \sin v}{\partial \theta }}=&\cos \theta \sin \upsilon \cos s-\sin \theta \sin s.\end{aligned}}$

En effet, si $\mathrm {F}$ est formé d’angles rapportés à l’équinoxe mobile du printemps, et que $i$ soit le nombre de ces angles pris positivement et $i'$ le nombre des angles pris négativement, on a généralement

${\frac {\partial \sin \mathrm {F} }{\partial \psi }}=(i-i')\cos \mathrm {F} \,;$

car, $\mathrm {A}$ étant un des angles de $\mathrm {F}$, en lui donnant cette forme

$\mathrm {A} -\psi +\psi ,$

il est clair que par la variation de $\psi$ de l’angle $\mathrm {A} -\psi$ reste invariable.

De là il est facile de conclure que le terme précédent, dépendant de ${\frac {1}{r^{4}}}$ ajoute à la valeur de ${\frac {d\theta }{dt}},$ donnée ci-dessus, la quantité

${\frac {3\alpha q\mathrm {TL} \cos \upsilon \cos s}{n\mathrm {C} r^{4}}}\left(\sin ^{2}v-{\frac {1}{5}}\right)\,;$

en négligeant le carré de $\gamma ,$ cette fonction devient

${\frac {3\alpha q\mathrm {TL} }{n\mathrm {C} r^{4}}}\cos \upsilon \left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{2}}&\sin ^{2}\theta -{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta \cos 2\upsilon \\&-\gamma \sin \theta \cos \theta \left[\cos(2\upsilon -\Lambda )-\cos \Lambda \right]\end{aligned}}\right\}.$

On voit d’abord que cette fonction ne contient point le sinus ou le cosinus de la longitude $\Lambda$ du nœud, les seuls qui, affectés de $\gamma ,$ puissent devenir sensibles par l’intégration qui leur fait acquérir un très-petit diviseur. Ainsi le coefficient de la nutation ne reçoit aucune augmentation des termes dépendants de la quatrième puissance de la parallaxe lunaire, ce qui a également lieu pour la précession. La seule influence que puisse avoir cette puissance dépend de l’excentricité $e$