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MÉCANIQUE CÉLESTE.

En substituant pour $d\theta '$ et $d\gamma '$ leurs valeurs précédentes, et en comparant séparément les coefficients de $dp'$ et de $dq',$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p'}}=&\ \ {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta '}}{\frac {\cos \theta '}{\sin \gamma '}}+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \gamma '}}{\frac {\sin \theta '}{\cos \gamma '}},\\\\{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q'}}=&-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta '}}{\frac {\sin \theta '}{\sin \gamma '}}+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \gamma '}}{\frac {\cos \theta '}{\cos \gamma '}},\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$p'{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q'}}-q'{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p'}}=-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta '}}\,;$

on a donc

$d\gamma '={\frac {andt}{\sin \gamma '{\sqrt {1-e^{2}}}}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta '}}.$

On trouvera de la même manière

$d\theta '=-{\frac {andt}{\sin \gamma '{\sqrt {1-e^{2}}}}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \gamma '}}.$

En ajoutant ces deux équations multipliées respectivement par $d\theta '$ et $-d\gamma ',$ on aura

$0={\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \gamma '}}d\gamma '+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta '}}.$

Ainsi la fonction $\mathrm {R}$ est constante eu égard aux variations de $d\theta '$ et de $d\gamma '.$

Si l’on réunit ces équations aux équations (1), (2), (3), (4) du Supplément cité, et si l’on désigne ici par $\gamma$ et $\theta$ ce que nous venons de désigner par $\gamma '$ et $\theta ',$ on aura les six équations suivantes :

${\begin{array}{ll}(1)\qquad &da\ =-2a^{2}d\mathrm {R} ,\\(2)&d\varepsilon \ =-{\frac {andt{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}\left(1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right){\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial e}}+2a^{2}ndt{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial a}},\\(3)&de\ =\ \ {\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}\left(1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)d\mathrm {R} +{\frac {andt{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \varpi }},\\(4)&d\varpi =-{\frac {andt{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial e}},\\(5)&d\gamma \ =\ \ {\frac {andt}{\sin \gamma {\sqrt {1-e^{2}}}}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta }},\\(6)&d\theta \ =-{\frac {andt}{\sin \gamma {\sqrt {1-e^{2}}}}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \gamma }}.\end{array}}$