Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/385

On doit observer que la différence partielle ${\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial a}}$ doit être prise ici sans faire varier $n.$

Dans la théorie des variations séculaires, il est plus simple d’employer, au lieu des quantités $e,\varpi ,\gamma ,\theta ,$ les suivantes, $h,l,p,,q,$ en faisant

${\begin{alignedat}{2}h=&e\sin \varpi ,\qquad &l=&e\cos \varpi ,\\p=&\gamma \sin \theta ,&q=&\gamma \cos \theta .\end{alignedat}}$

Si l’on néglige les carrés de $e$ et de $\gamma$ et leurs produits, eu égard à l’unité, si l’on substitue, pour $n,\ {\frac {1}{a^{\frac {3}{2}}}},$ et si l’on observe qu’en n’ayant égard qu’aux variations séculaires, on doit négliger $d\mathrm {R}$ ou le supposer nul, les équations (3), (4), (5) et (6) donneront les suivantes,

${\begin{aligned}m{\frac {dh}{dt}}{\sqrt {a}}=&-m{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial l}},\\m{\frac {dl}{dt}}{\sqrt {a}}=&\ \ m{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial h}},\\m{\frac {dp}{dt}}{\sqrt {a}}=&-m{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q}},\\m{\frac {dq}{dt}}{\sqrt {a}}=&\ \ m{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p}},\end{aligned}}$

où l’on ne doit considérer, dans une première approximation, que la partie de $\mathrm {R}$ constante et dépendante de $h,l,p$ et $q.$ Cela posé, si l’on développe l’expression de $\mathrm {R}$ du n^o 46 du Livre II, et si l’on désigne par $\mathrm {F}$ la quantité

$\sum \left\{{\begin{aligned}&{\frac {3mm'aa'(a,a')^{1}}{8(a'^{2}-a^{2})^{2}}}\left[h^{2}+l^{2}+h'^{2}+l'^{2}-(p'-p)^{2}-(q'-q)^{2}\right]\\\\&-3mm'{\frac {\left(a^{2}+a'^{2}\right)(a,a')^{1}+aa'(a,a')}{2\left(a'^{2}-a^{2}\right)^{2}}}(hh'+ll')\end{aligned}}\right\},$

$(a,a')$ étant la partie indépendante de $\theta$ dans le développement de $\left(a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$ suivant les cosinus de $\theta$ et de ses multiples, $(a,a')^{1}$ étant le coefficient de $\cos \theta$ dans ce développement, et la caractéristique $\sum$ servant à exprimer la somme de toutes les quantités sem-