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MÉCANIQUE CÉLESTE.

blables à celle qu’elle précède, et que l’on peut former en considérant deux à deux les masses $m,m',m'',\ldots \,;$ on aura les équations suivantes :

${\begin{aligned}m\ {\frac {dh}{dt}}\,\ {\sqrt {a}}\,\ =&-{\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial l}},\\m\,\ {\frac {dl}{dt}}\,\ {\sqrt {a}}\,\ =&\quad \ {\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial h}},\\m\,\ {\frac {dp}{dt}}\,\ {\sqrt {a}}\,\ =&-{\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial q}},\\m\,\ {\frac {dq}{dt}}\,\ {\sqrt {a}}\,\ =&\quad \ {\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial p}},\\m'{\frac {dh'}{dt}}{\sqrt {a'}}=&-{\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial l'}},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \end{aligned}}$

Ces équations sont les équations (A) et (C) des n^os 55 et 59 du Livre II. Lagrange a donné le premier les équations (C) relatives aux inclinaisons et aux nœuds des orbites, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1774. J’ai donné les équations (A) dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1772. Toutes ces équations sont linéaires et facilement intégrales par les méthodes connues. Leur forme symétrique et fort simple m’a fait voir que leurs intégrales ne renferment, par rapport au temps, ni exponentielles ni arcs de cercle, et qu’ainsi les excentricités et les inclinaisons des orbites sont fonctions de sinus et de cosinus d’angles croissants avec une grande lenteur et indépendants de la configuration mutuelle des planètes, en sorte que les orbites planétaires ont toujours été et seront toujours presque circulaires et peu inclinées entre elles, ce qui assure la stabilité du système planétaire. Il est facile de voir que les équations précédentes donnent

${\begin{aligned}m{\sqrt {a}}(hdh+ldl\,)+m'{\sqrt {a'}}(h'dh'+l'dl'\ )+\ldots =&0,\\m{\sqrt {a}}(pdp+qdq)+m'{\sqrt {a'}}(p'dp'+q'dq')+\ldots =&0,\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en intégrant,

${\begin{aligned}e^{2}m{\sqrt {a}}+e'^{2}m'{\sqrt {a'}}+\ldots =&\mathrm {C} ,\\\gamma ^{2}m{\sqrt {a}}+\gamma '^{2}m'{\sqrt {a'}}+\ldots =&\mathrm {C} ',\end{aligned}}$