La première de ces équations donne, en l’intégrant,
![{\displaystyle \varphi ={\frac {\mathrm {H} x^{s-1}}{\left[\alpha -\left(1+\alpha ^{2}\right)x+\alpha x^{2}\right]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2116fe63176827efc2ba64e8b1061e30b8e942c7)
étant une constante arbitraire. La seconde équation, qui sert à déterminer les limites de l’intégrale, donne, pour les limites de l’intégrale 
![{\displaystyle 0=x^{i+s-2}\left[\alpha -\left(1+\alpha ^{2}\right)x+\alpha x^{2}\right]^{1-s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07818f81170ecaafe9bf180f2d0b81b736fa55ea)
On peut toujours supposer 
moindre que l’unité, parce qu’ayant, pour ce cas la valeur de 
on peut, par le no 49 du Livre II, en conclure la valeur relative à tous les cas où est augmenté ou diminué d’un nombre entier. Dans le cas des planètes, 
et l’équation des limites devient
![{\displaystyle 0=x^{i-{\frac {3}{2}}}\left[\alpha -\left(1+\alpha ^{2}\right)x+\alpha x^{2}\right]^{\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0530c3c9dacd4a9febadc866de4c91ff1698278a)
dont les racines sont, lorsque 
est égal ou plus grand que 
Ainsi l’intégrale complète de l’équation 
est alors
la première intégrale étant prise depuis 
jusqu’à 
et la seconde étant prise depuis 
jusqu’à 
et 
sont deux arbitraires. Cette dernière intégrale introduit dans l’expression de 
des puissances négatives de 
de l’ordre 
ce qui n’a point lieu pour les planètes. On doit donc alors supposer nul. Pour avoir l’intégrale
nous ferons
