Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/390

374

MÉCANIQUE CÉLESTE.

l’intégrale précédente devient ainsi

$2\mathrm {H} \alpha ^{i}\int {\frac {dt\left(1-t^{2}\right)^{i-{\frac {1}{2}}}}{\sqrt {1-\alpha ^{2}+\alpha ^{2}t^{2}}}},$

cette dernière intégrale étant prise depuis $t=0$ jusqu’à $t=1\,;$ c’est l’expression de $b_{\frac {1}{2}}^{(i)}.$ Soit

$\left(1-t^{2}\right)^{i-{\frac {1}{2}}}=c^{-u^{2}},$

$c$ étant le nombre dont le \logarithme hyperbolique est l’unité ; on aura, en développant en série,

$t^{2}={\frac {u^{2}}{i-{\frac {1}{2}}}}\left[1-{\frac {u^{2}}{1.2.\left(i-{\frac {1}{2}}\right)}}+{\frac {u^{4}}{1.2.3.\left(i-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}-\ldots \right],$

ce qui donne

$t={\frac {u}{\sqrt {i-{\frac {1}{2}}}}}\left[1-{\frac {u^{2}}{4\left(i-{\frac {1}{2}}\right)}}+\ldots \right].$

Lorsque $i$ est un grand nombre, les termes qui suivent le premier dans le second membre deviennent successivement plus petits et sont des ordres ${\frac {1}{i}},{\frac {1}{i^{2}}},\ldots ,$ par rapport à lui. Nous ne considérerons ici que le premier, et alors l’expression précédente de $b_{\frac {1}{2}}^{(i)}$ devient

${\frac {2\mathrm {H} \alpha ^{i}}{\sqrt {\left(i-{\frac {1}{2}}\right)\left(1-\alpha ^{2}\right)}}}\int duc^{-u^{2}}.$

$t$ nul donne $u$ nul, et $t=1$ donne $u$ infini. L’intégrale $\int duc^{-u^{2}}$ devient, comme l’on sait, dans ces limites, égale à ${\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }},\ \pi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité. On a donc, lorsque $i$ est un grand nombre.

$b_{\frac {1}{2}}^{(i)}={\frac {\mathrm {H} \alpha ^{i}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\left(i-{\frac {1}{2}}\right)\left(1-\alpha ^{2}\right)}}}.$