Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/391

Pour déterminer $\mathrm {H}$, nous observerons que, $b_{\frac {1}{2}}^{(i)}$ étant le coefficient de $\cos i\theta$ dans le développement de $\left(1-\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ ou de

$\left(1-\alpha c^{\theta {\sqrt {-1}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left(1-\alpha c^{-\theta {\sqrt {-1}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}},$

on a

${\frac {1}{2}}b_{\frac {1}{2}}^{(i)}=$

${\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{2.4.6\ldots 2i}}\alpha ^{i}\left[1+{\frac {2i+1}{2i+2}}{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}+{\frac {(2i+1)(2i+3)}{(2i+2)(2i+4)}}{\frac {1.3}{2.4}}\alpha ^{4}+\ldots \right].$

Considérons $b_{\frac {1}{2}}^{(i)}$ comme fonction de $i$ et de $\alpha ,$ et développons cette fonction suivant les puissances descendantes de $i.$ Le premier terme du facteur

$1+{\frac {2i+1}{2i+2}}{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}+{\frac {(2i+1)(2i+3)}{(2i+2)(2i+4)}}{\frac {1.3}{2.4}}\alpha ^{4}+\ldots$

est

$1+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}+{\frac {1.3}{2.4}}\alpha ^{4}+\ldots ,$

ou

$\left(1-\alpha ^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.$

Le premier terme du facteur

${\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{2.4.6\ldots 2i}}\quad$ou$\quad {\frac {1.2.3\ldots 2i}{2^{2i}(1.2.3\ldots i)^{2}}}$

développé suivant les puissances descendantes de $i,$ peut être ainsi déterminé. On a, par les théorèmes connus, pour le premier terme du produit $1.2.3\ldots 2i,$ la quantité

$(2i)^{2i+{\frac {1}{2}}}c^{-2i}{\sqrt {2\pi }},$

et, pour le premier terme du produit $1.2\ldots i,$ le terme

$i^{i+{\frac {1}{2}}}c^{-i}{\sqrt {2\pi }}\,;$

le facteur précédent devient ainsi ${\frac {1}{\sqrt {i\pi }}}.$ Le premier terme de la valeur de $b_{\frac {1}{2}}^{(i)},$ réduite en série par rapport aux puissances descendantes de $i,$ est donc

${\frac {2\alpha ^{i}}{\sqrt {i\pi \left(1-\alpha ^{2}\right)}}}.$