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d’où l’on tire, en multipliant cette équation par $d\mathrm {V}$ et en l’intégrant,

${\frac {d\mathrm {V} }{dt}}={\sqrt {c^{2}-(10q'-4q)\cos \mathrm {V} }},$

$c$ étant une constante arbitraire. Relativement à Jupiter et à Saturne, $c$ est égal à $5n'-2nt,\ nt$ et $n't$ étant les parties non périodiques de leurs longitudes moyennes.

Si $c^{2}$ surpasse $10q'-4q$ pris positivement, on pourra réduire en série convergente la quantité sous le radical, et alors on obtient, pour Jupiter et Saturne, la valeur qui résulte des formules du Livre VI. Mais, si $c^{2}$ est moindre que $10q'-4q$ pris positivement, l’angle $\mathrm {V}$ ne peut plus croître indéfiniment ; il ne peut qu’osciller autour de l’un de ces deux points, zéro et la demi-circonférence. Ce changement de révolution en oscillation aura lieu si, en faisant varier $n$ et $n'$ de $\delta n$ et $\delta n'$, on a

$5n'-2n+5\delta n'-2\delta n={\sqrt {10q'-4q}},$

la quantité sous le radical étant prise positivement. Cette quantité peut être supposée sensiblement la même pour toutes les valeurs de $\delta n$ et $\delta n',$ pourvu qu’elles soient fort petites relativement à $n$ et $n'$ parce que les demi-grands axes $a$ et $a',$ dont $q$ et $q'$ dépendent, restent alors à très-peu près les mêmes. Les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne sont, à fort peu près,

${\frac {-q}{(5n'-2n)^{2}}}\sin \mathrm {V} ,\qquad {\frac {-q'}{(5n'-2n)^{2}}}\sin \mathrm {V} .$

Dans les dernières Tables de M. Bouvard, ces inégalités sont, en secondes centésimales,

$3662''{,}4.\sin \mathrm {V} ,\qquad -8895''{,}7.\sin \mathrm {V} ,$

ce qui donne

$q=-(5n'-2n)^{2}.3662''{,}4,\qquad q'=(5n'-2n)^{2}.8875''{,}7$ ^[1].

1. Les deux nombres $8895''{,}7$ et $8875''{,}7$ devraient être identiques ; ni l’un ni l’autre d’ailleurs n’est égal au nombre $8866''{,}2$ qu’on lit dans l’Introduclion des Tables de Bouvard (Tables de Jupiter, de Saturne et d’Uranus, par M. A. Bouvard, 1821 ; p. ${sc|iii}).\qquad$ V. P.