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MÉCANIQUE CÉLESTE.

En réduisant les arcs en parties du rayon, on a

${\sqrt {10q'-4q}}=(5n'-2n).0{,}4042\,;$

les deux limites de l’oscillation de ${\frac {d\mathrm {V} }{dt}}$ sont donc

$\pm (5n'-2n).0{,}4042.$

Pour que la valeur de ${\frac {d\mathrm {V} }{dt}}$ soit comprise dans ces limites, il faut que l’on ait

$5n'-2n+5\delta n'-2\delta n<0{,}4042.(5n'-2n),$

ce qui commence à exister lorsque l’on a

$5\delta n'-2\delta n=-0{,}5958.(5n'-2n).$

Alors le moyen mouvement de Saturne deviendrait exactement les deux cinquièmes de celui de Jupiter. Si l’on fait $\delta n$ égal à $-\delta n',$ l’équation précédente donne

$\delta n'=-{\frac {0{,}5958,}{7}}(5n'-2n).$

Or on a, à fort peu près, $5n'-2n={\frac {n'}{30}}\,;$ on aura donc

${\frac {\delta n'}{n'}}=-{\frac {0{,}5958}{210}}.$

On a, par les lois de Kepler, ${\frac {\delta n'}{n'}}=-{\frac {3}{2}}{\frac {\delta a'}{a'}}\,;$ on aura ainsi

$\delta a'={\frac {a'}{530}},$

et, comme on a supposé $\delta n=-\delta n',$ on aura

$\delta a=-{\frac {a}{1320}}.$

Il eût donc suffi de faire varier de ces petites fractions les distances moyennes de ces deux planètes au Soleil pour rendre leurs moyens mouvements commensurables. La détermination de $\mathrm {V}$ aurait alors présenté des difficultés ; mais il est inutile de nous en occuper.