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LIVRE XV.

Ces équations sont relatives au mouvement parabolique ; $r$ est le rayon vecteur de la comète, au moment de l’observation prise pour époque ; $\mathrm {R}$ est le rayon vecteur de la Terre, sa moyenne distance au Soleil étant prise pour unité ; ☉ est la longitude du Soleil à l’instant de l’époque ; $\mathrm {R} '$ est le rayon vecteur de la Terre lorsqu’on augmente ☉ d’un angle droit ; $\alpha$ et $\theta$ sont la longitude et la latitude géoCentriques de la comète au moment de l’époque ; $x$ est la distance de la comète au centre de la Terre, projetée sur le plan de l’écliptique ; enfin $y$ dx désigne ${\frac {dx}{dt}}.$

Il y a, comme on voit, plus d’équations que d’inconnues, ce qui doit avoir lieu dans le mouvement parabolique, en vertu de la supposition du grand axe infini ; il faut donc alors ou choisir entre les deux équations $(a')$ et $(a''),$ ou les combiner de la manière la plus avantageuse. J’avais proposé, dans le Livre II, d’employer l’équation $(a')$ ou l’équation $(a''),$ selon que $b$ est plus grand ou plus petit que $l.$ Mais depuis, m’étant fort occupé de l’influence des erreurs des observations sur leurs résultats, j’ai reconnu que le moyen le plus propre à diminuer ici cette influence consiste à combiner ces équations en multipliant l’équation $(a')$ par $a$, l’équation $(a'')$ par $h$ et en ajoutant ces produits, ce qui donne l’équation suivante :

$(a^{\text{ıv}})\qquad \left\{{\begin{aligned}y=&{\frac {a\sin({\text{☉}}-\alpha )-h\sin \theta \cos \theta \cos({\text{☉}}-\alpha )}{2\left(a^{2}+h^{2}\right)}}\mathrm {R} \left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right)\\\\&-{\frac {x\left(h^{3}\operatorname {tang} \theta +{\frac {1}{2}}ab+{\frac {1}{2}}hl+{\frac {1}{2}}a^{2}h\sin \theta \cos \theta \right)}{a^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}\right.$

On combinera donc cette équation avec les équations $(a)$ et $(a''')$ pour avoir les valeurs de $x,y,r.$ On fera une première supposition pour $x$, et l’équation $(a)$ donnera la valeur correspondante de $r\,;$ ensuite l’équation $(a^{\text{ıv}})$ donnera la valeur de $y.$ Ces valeurs, substituées dans l’équation $(a'''),$ doivent y satisfaire, si la valeur de $x$ a été bien choisie. Si cette équation n’est pas satisfaite, on prendra une seconde valeur de $x,$ et ainsi de suite. Quelques essais feront bientôt connaître la vraie