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MÉCANIQUE CÉLESTE.

On doit observer ici que les intervalles $i$ et $i'$ sont égaux aux produits du nombre des jours qu’ils comprennent par l’arc que la Terre décrit dans un jour, en vertu de son mouvement moyen. En supposant donc que, dans les équations précédentes, $i$ et $i'$ soient ces nombres de jours, ces équations donneront, en y changeant $a,b,h,l$ en $a',b',h',l',$ les valeurs de ces dernières quantités en secondes. Si elles sont sexagésimales, on aura les \logarithmes de $a$ et de $h$ en retranchant des \logarithmes des nombres de secondes contenues dans $a'$ et $h'$ le \logarithme $3{,}5500072.$ On aura les \logarithmes de $b$ et $l$ en retranchant des \logarithmes des nombres de secondes contenues dans $b'$ et $l'$ le \logarithme $1{,}7855874.$

On déterminerait avec plus d’exactitude les quatre inconnues $a,b,h$ et $l,$ en employant d’autres observations, pourvu qu’elles soient comprises entre les deux observations extrêmes précédentes. On aura, par ce qui précède, les équations relatives aux observations ajoutées. On formera ensuite, de toutes ces équations, par la méthode la plus avantageuse, quatre équations finales qui détermineront les inconnues $a,b,h$ et $l.$ Cela posé, les équations (L) du n^o 35 du Livre II donnent les suivantes :

${\begin{aligned}(a)&\qquad r^{2}={\frac {x^{2}}{w\cos ^{2}\theta }}-2\mathrm {R} x\cos({\text{☉}}-\alpha )+\mathrm {R} ^{2},\\\\(a')&\qquad ay={\frac {1}{2}}\mathrm {R} \sin({\text{☉}}-\alpha )\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right)-{\frac {1}{2}}bx,\\\\(a'')&\ \ \ \left\{{\begin{aligned}hy=&-x\left(h^{2}\operatorname {tang} \theta +{\frac {1}{2}}l+{\frac {1}{2}}a^{2}\sin \theta \cos \theta \right)\\&+{\frac {1}{2}}\mathrm {R} \sin \theta \cos \theta \cos({\text{☉}}-\alpha )\left({\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right),\end{aligned}}\right.\\\\(a''')&\ \ \ \left\{{\begin{aligned}0\ \ =&{\frac {y^{2}}{\cos ^{2}\theta }}+a^{2}x^{2}+{\frac {h^{2}x^{2}}{\cos ^{4}\theta }}+{\frac {2hyx\operatorname {tang} \theta }{\cos ^{2}\theta }}\\\\&+2y\left[{\frac {\sin({\text{☉}}-\alpha )}{\mathrm {R} }}-(\mathrm {R} '-1)\cos({\text{☉}}-\alpha )\right]\\\\&-2ax\left[(\mathrm {R} '-1)\sin({\text{☉}}-\alpha ){\frac {\cos({\text{☉}}-\alpha )}{\mathrm {R} }}\right]+{\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}-{\frac {2}{r}}.\end{aligned}}\right.\end{aligned}}$