sinus des deux angles qui expriment les distances du Soleil au nœud et du nœud à la Lune, et par le cosinus de la distance de la Lune au Soleil. En changeant dans cette fonction le mouvement horaire de la Lune dans la différentielle de ce mouvement, en développant en cosinus simples le produit des sinus et des cosinus, et ensuite en intégrant, on a facilement l’expression du moyen mouvement du nœud et ses inégalités. Ce procédé n’était point au-dessus de l’analyse connue de Newton ; mais il ne l’a point donné, soit qu’alors on ne fût point familiarisé avec les développements en sinUs et cosinus simples des produits de sinus et de cosinus et avec l’intégration de leurs différentielles, soit que Newton, s’étant proposé d’exposer toutes ses théories sous une forme synthétique, ait cherché les moyens d’y parvenir par la synthèse, soit enfin que, ayant trouvé ses résultats par l’analyse, il les ait traduits synthétiquement, ce qu’il paraît avoir fait dans plusieurs cas. La manière dont il a déterminé le mouvement moyen du nœud et son inégalité principale, quoique compliquée, est exacte et ingénieuse. Newton observe que, dans le cours de chaque mois, le mouvement du nœud s’accélère et se ralentit de manière qu’il a rétrogradé, à la fin du mois, d’une quantité dépendante seulement de sa distance au Soleil. Il parvient ainsi à séparer, dans l’expression du mouvement horaire du nœud, ce qui est indépendant de la position de la Lune dans son orbite de ce qui en dépend. Cette dernière partie ne devant produire que des inégalités dont la période est à peu près d’un demi-mois et qui disparaissent de l’expression de la latitude en se combinant avec les inégalités correspondantes de l’inclinaison, Newton la néglige et ne considère que la première partie du mouvement horaire du nœud. Il en conclut, par des considérations géométriques et par la quadrature des courbes, le moyen mouvement annuel du nœud et son inégalité principale dont l’argument est le double de la distance du Soleil au nœud. Il obtient de la même manière l’inégalité principale de l’inclinaison, qu’il trouve conforme, ainsi que l’inégalité du nœud, à celles que Tycho Brahe avait déduites de ses observations.
Tels sont les résultats dont Newton, dans la première édition de son
