qu’il substitue au mouvement du nœud et à l’inclinaison de l’orbite, ce qui est plus direct et plus simple. Il a porté fort loin les approximations analytiques, et il a rectifié par les observations les coefficients, déjà fort approchés par sa théorie, des diverses inégalités lunaires. Mason perfectionna ces Tables en les assujettissant à un très-grand nombre d’observations de Bradley et en leur ajoutant quelques inégalités indiquées par la théorie. La comparaison des observations avec ses Tables lui donna une inégalité en longitude proportionnelle au sinus de la longitude du nœud de l’orbite, et dont il trouva le coefficient égal à sexagésimales, inégalité que Mayer avait déjà reconnue, mais avec un coefficient plus petit et seulement de secondes. Cette inégalité, ne paraissant pas résulter de la théorie de l’attraction, fut négligée par les astronomes.
Les Tables de Mayer, rectifiées par Mason, ont servi pendant plusieurs années au calcul des éphémérides destinées aux navigateurs ; mais elles laissaient à désirer des Tables aussi parfaites, uniquement fondées sur la théorie. C’est ce qu’Euler tenta d’exécuter au moyen d’une nouvelle théorie de la Lune. Il y rapporte les coordonnées de la Lune à un axe mû sur l’écliptique autour du centre de la Terre, d’un mouvement égal au moyen mouvement de la Lune, et il donne les équations différentielles des trois coordonnées orthogonales rapportées à cet axe mobile et au plan de l’écliptique. Il les intègre par des approximations convergentes, et il réduit en Tables leurs intégrales, qui déterminent la position de la Lune à un instant quelconque. Mais, ces Tables étant moins commodes et moins précises que celles de Mason, les astronomes n’en ont point fait usage. Euler exposa sa nouvelle méthode dans deux pièces qu’il envoya à l’Académie des Sciences pour concourir aux prix qu’elle proposa sur la théorie de la Lune, en 1770 et en 1772 ; ensuite il la développa dans un Traité spécial fort étendu.
Lagrange envoya à l’Académie, pour le concours au prix de 1772, une pièce dans laquelle il considère le mouvement de la Lune sous un point de vue purement analytique. Il imagine trois corps qui s’attirent
