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MÉCANIQUE CÉLESTE.

Lune ou du mois sidéral à l’année sidérale ; n’est la longitude du Soleil et $\upsilon$ celle de la Lune. La force qui retient la Lune dans son orbite est prise pour unité de force, ainsi que le rayon moyen de l’orbite lunaire est pris pour unité de distance, ce qui donne la vitesse moyenne de la Lune égale à l’unité de vitesse, puisque, en vertu des théorèmes d’Huygens sur la force centrifuge, la force centrale de la Lune est égale au carré de sa vitesse divisé par le rayon de son orbite. En multipliant l’expression précédente par l’élément $dt$ du temps, la somme de tous les produits, correspondante à un temps quelconque, sera l’accroissement de vitesse résultant de la force perpendiculaire au. rayon. En le multipliant par ${\frac {1}{2}}d\upsilon ,$ on aura, aux quantités près de l’ordre du carré des forces perturbatrices, l’accroissement de l’aire décrite par le rayon vecteur de la Lune pendant l’instant $dt.$ Newton détermine par un procédé particulier la somme des produits de $dt$ par la force

$3m^{2}\sin(\upsilon '-\upsilon )\cos(\upsilon '-\upsilon ).$

Cette somme est à fort peu près l’intégrale de la différentielle

$3m^{2}d\upsilon \sin(m\upsilon -\upsilon )\cos(m\upsilon -\upsilon ),$

en substituant $m\upsilon$ pour $\upsilon ',$ ce que l’on peut faire quand on néglige l’excentricité de l’orbe terrestre, et en mettant $d\upsilon$ pour $dt$, la vitesse moyenne ${\frac {d\upsilon }{dt}}$ étant prise pour unité. Cette intégrale, prise depuis la quadrature, où $\upsilon -m\upsilon$ est un angle droit, est

${\frac {3m^{2}-\cos ^{2}(\upsilon -m\upsilon )}{2(1-m)}}.$

Cette expression, multipliée par ${\frac {1}{2}}d\upsilon ,$ donne l’accroissement de l’aire instantanée égal à

${\frac {3m^{2}d\upsilon }{8(1-m)}}+{\frac {3m^{2}d\upsilon \cos(2\upsilon -2m\upsilon )}{8(1-m)}}\,;$

ainsi la variation de cette aire est

${\frac {3m^{2}d\upsilon \cos(2\upsilon -2m\upsilon )}{8(1-m)}}.$