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LIVRE XVI.

Cette variation est nulle dans les octants, où, par conséquent, l’aire instantanée à sa valeur moyenne ; en prenant pour unité cette valeur, la valeur de l’aire instantanée sera, dans les autres points de l’orbite,

$1+{\frac {3m^{2}}{4(1-m)}}\cos(2\upsilon -2m\upsilon ).$

La valeur de l’aire instantanée est donc à sa valeur moyenne comme

${\frac {4(1-m)}{3m^{2}}}+\cos(2\upsilon -2m\upsilon )\quad$est à$\quad {\frac {4(1-m)}{3m^{2}}},$

et, à cause de $m^{2}$ égal à ${\frac {1}{178{,}7}}$ comme

$220{,}46+\cos(2\upsilon -2m\upsilon )\quad$est à$\quad 220{,}46,$

ce qui est le résultat de Newton.

Le carré de la vitesse de la Lune autour de la Terre est ${\frac {r^{2}d\upsilon ^{2}+dr^{2}}{dt^{2}}},$ en représentant par $r$ son rayon vecteur. Mais si l’on fait, avec Newton, abstraction de l’excentricité de l’orbite, $dr^{2}$ devient de l’ordre du carré de la force perturbatrice et peut ainsi être négligé, en sorte que l’on peut supposer le carré de cette vitesse égal à ${\frac {r^{2}d\upsilon ^{2}}{dt^{2}}}.$ Mais l’aire décrite par le rayon vecteur pendant l’instant $dt$ est ${\frac {1}{2}}r^{2}d\upsilon .$ Le carré de cette aire divisé par $dt^{2}$ est ${\frac {r^{4}d\upsilon ^{2}}{4dt^{2}}}\,;$ il est donc le quart du carré de la vitesse, multiplié par $r^{2}.$ Dans les syzygies et dans les quadratures, les carrés des aires instantanées sont, par ce qui précède, dans le rapport de

$1+{\frac {3m^{2}}{2(1-m)}}\quad$à$\quad 1-{\frac {3m^{2}}{2(1-m)}}\,;$

en désignant donc par $1-x$ le rayon vecteur $r$ dans les syzygies et par $1+x$ ce rayon vecteur dans les quadratures, les carrés des vitesses dans ces deux points seront, en négligeant le carré de $x,$ dans le rapport de

$1+2x+{\frac {3m^{2}}{2(1-m)}}\quad$à$\quad 1-2x-{\frac {3m^{2}}{2(1-m)}}.$

Soient $\mathrm {R}$ et $\mathrm {R} '$ les rayons osculateurs de l’orbite lunaire dans ces deux