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MÉCANIQUE CÉLESTE.

points ; les forces centrales seront, par les théorèmes d’Huygens sur la force centrifuge, dans le rapport de

${\frac {1+2x+{\frac {3m^{2}}{2(1-m)}}}{\mathrm {R} }}\quad$à$\quad {\frac {1-2x-{\frac {3m^{2}}{2(1-m)}}}{\mathrm {R} '}}$.

Si l’on nomme $k$ la somme des masses de la Terre et de la Lune, il est facile de voir que la force centrale, dans les syzygies, est

$k(1+2x)-2m^{2},$

et qu’elle est, dans les quadratures,

$k(1-2x)+m^{2}\,;$

ces deux forces sont donc dans le rapport de

$1+2x-{\frac {2m^{2}}{k}}\quad$à$\quad 1+2x+{\frac {m^{2}}{k}}.$

$k$ serait l’unité, sans la force perturbatrice, puisqu’il serait alors égal au carré de la vitesse, divisé par le rayon ; $k$ ne diffère donc de l’unité que de quantités de l’ordre $m^{2}\,;$ ainsi, sans rechercher cette différence, nous pouvons, en négligeant le carré de la force perturbatrice, supposer les deux forces précédentes dans le rapport de

$1+2x-2m^{2}\quad$à$\quad 1+2x+m^{2}.$

En égalant le rapport de ces forces à celui que nous avons donné ci-dessus, on aura

$\mathrm {\frac {R'}{R}} =1-3m^{2}\left(1+{\frac {1}{1-m}}\right).$

Pour déterminer $x$, Newton considère l’orbe lunaire comme une ellipse dont la Terre occupe le centre et qui se meut d’un mouvement angulaire égal au mouvement apparent du Soleil, en sorte que son périgée soit constamment au-dessous de cet astre. Dans une pareille ellipse, si l’on prend, avec Newton, pour unité de distance le rayon vecteur dans les octants, ce rayon, dans un point quelconque de l’orbite, sera

$1-x\cos 2(\upsilon -m\upsilon ).$