équation qui coïncide avec la seconde des équations (L) du no 1 du Livre VII, lorsqu’on néglige l’inclinaison de l’orbite lunaire.
3. Newton considère ensuite le mouvement des nœuds de l’orbe lunaire et la variation de son inclinaison à l’écliptique. Après avoir décomposé l’action du Soleil sur la Lune en deux, l’une dirigée suivant le rayon de l’orbe lunaire, l’autre parallèle au rayon mené du Soleil à la Terre, il retranche de celle-ci l’action du Soleil sur la Terre et il observe que leur différence est la seule force qui puisse altérer la position du plan de l’orbite lunaire, comme n’étant pas dans ce plan. Pour déterminer la variation des nœuds qui en résulte. Newton fait passer un plan par l’élément de l’arc que la Lune décrit dans un instant et par le rayon lunaire de la dernière extrémité de cet élément. Ce plan sera celui de l’orbite pendant cet instant ; dans l’instant suivant, la différence des forces dont nous venons de parler fera dévier la Lune de ce plan. Si par l’extrémité du rayon lunaire on mène une petite droite pour représenter cette différence, en la composant avec la vitesse de la Lune dans le premier instant, on aura la direction de cette vitesse dans le second instant, et, faisant passer un plan par le rayon lunaire et par cette direction, on aura le nouveau plan de l’orbite. Newton détermine ensuite la différence de position des nœuds de ces deux plans, et il trouve que le mouvement horaire du nœud ascendant est égal à
étant la longitude du nœud et , étant le mouvement horaire de la Lune. En désignant donc par le mouvement horaire du nœud, on a
Dans l’état actuel de l’Analyse, on réduit le produit de ces sinus et cosinus en cosinus simples, ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {N} _{\text{ı}}=-{\frac {3}{4}}m^{2}\upsilon _{\text{ı}}\left[1+\cos(2\upsilon -2m\upsilon )-\cos(2\upsilon -2\mathrm {N} )-\cos(2m\upsilon -2\mathrm {N} )\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfffaf26fa2d76261e32696e83f1b75c2feecd87)
