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LIVRE XVI.

En changeant ensuite $\mathrm {N} _{\text{ı}}$, et $\upsilon _{\text{ı}}$ en $d\mathrm {N}$ et $d\upsilon ,$ et désignant $-{\frac {3}{4}}m^{2}\upsilon$ par $i\upsilon ,$ on aura à très-peu près, en intégrant,

${\begin{aligned}\mathrm {N} =&-{\frac {3}{4}}m^{2}\upsilon -{\frac {3m^{2}}{8(1-m)}}\sin(2\upsilon -2m\upsilon )\\\\&+{\frac {3m^{2}}{8(1-i)}}\sin(2\upsilon -2\mathrm {N} )+{\frac {3m^{2}}{8(m-i)}}\sin(2m\upsilon -2\mathrm {N} ).\end{aligned}}$

Ce procédé n’était point au-dessus de l’Analyse connue de Newton ; et s’il en eût fait usage, il aurait eu fort simplement l’inégalité annuelle du mouvement du nœud, que son petit diviseur rend très-sensible, et qui, par ce qui précède, est

${\frac {3m^{2}}{8(m-i)}}\sin(2m\upsilon -2\mathrm {N} ).$

En substituant pour $\mathrm {N}$ sa valeur précédente dans l’expression de $d\mathrm {N} ,$ on aura le terme non périodique

${\frac {3}{4}}m^{2}d\upsilon {\frac {3m^{2}}{8(m-i)}},$

en sorte que le moyen mouvement du nœud sera

$-{\frac {3}{4}}m^{2}\upsilon \left[1-{\frac {3m^{2}}{8(m-i)}}\right],$

expression exacte aux quantités près de l’ordre $m^{4}.$

Newton, au lieu de décomposer l’expression du mouvement horaire en cosinus simples pour ne considérer que l’inégalité indépendante du mouvement de la Lune, emploie un procédé qui revient au même. Il observe que, dans le cours de chaque mois, le mouvement du nœud s’accélère et retarde, et que de là résulte un mouvement horaire médiocre qu’il trouve égal à

$-{\frac {3}{2}}m^{2}\upsilon _{\text{ı}}\sin ^{2}(m\upsilon -\mathrm {N} ),$