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MÉCANIQUE CÉLESTE.

L’inégalité dépendante de $\sin 4\varphi$ est insensible ; celle qui dépend de $\sin 2\varphi$ ou de $\sin(2m\upsilon -2\mathrm {N} )$ a été reconnue par Tycho. En réduisant en nombres son coefficient, on a celui que Tycho a déduit de ses observations.

Newton détermine ensuite la variation horaire de l’inclinaison de l’orbite lunaire à l’écliptique, et il la trouve égale à

$-3m^{2}\gamma \upsilon _{\text{ı}}\cos(\upsilon -\mathrm {N} )\sin(m\upsilon -\mathrm {N} )\cos(\upsilon -m\upsilon ),$

$\gamma$ étant l’inclinaison de l’orbite. En changeant le mouvement horaire $\upsilon _{\text{ı}}$ de la Lune en $d\upsilon ,$ en réduisant en sinus simples le produit des cosinus et du sinus, et en intégrant, on a, pour la variation de l’inclinaison, cette expression fort approchée

$-{\frac {3m^{2}\gamma \cos(2\upsilon -2m\upsilon )}{8(i-m)}}+{\frac {3m^{2}\gamma \cos(2\upsilon -2\mathrm {N} )}{8(1-i)}}+{\frac {3m^{2}\gamma \cos(2m\upsilon -2\mathrm {N} )}{8(m-i)}},$

$\gamma$ étant l’inclinaison moyenne de l’orbite. Newton ne considère, comme il l’a fait pour le mouvement du nœud, que la partie de cette expression qui n’est relative qu’à la distance du Soleil au nœud ; il trouve le mouvement horaire de l’inclinaison, relatif à cette partie, égal à

${\frac {3m^{2}}{2}}\upsilon _{\text{ı}}\gamma \sin(m\upsilon -\mathrm {N} )\cos(m\upsilon -\mathrm {N} ),$

d’où il conclut la principale inégalité de l’inclinaison.

Il observe que les deux autres inégalités, dont la période est d’un mois à peu près, en se combinant avec les deux inégalités correspondantes du mouvement du nœud, ne produisent aucune inégalité sensible dans la latitude. En effet, si l’on nomme $\delta \mathrm {N}$ et $\delta \gamma$ les variations du nœud et de l’inclinaison, la variation de la latitude sera

$\delta \gamma \sin(\upsilon -\mathrm {N} )-\gamma \delta \mathrm {N} \cos(\upsilon -\mathrm {N} ).$

En substituant pour $\delta \gamma$ et $\delta \mathrm {N}$ leurs termes périodiques trouvés ci-dessus, cette fonction devient

${\frac {-3m^{2}\gamma }{8(1-i)}}\sin(\upsilon -\mathrm {N} )+{\frac {3m^{2}\gamma }{8}}\left({\frac {1}{m-i}}+{\frac {1}{1-m}}\right)\sin(\upsilon -2m\upsilon +\mathrm {N} ).$