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LIVRE XVI.

deux retours consécutifs du Soleil au même nœud,

$-{\frac {3m}{4}}.2\pi \left(1-{\frac {9m}{8}}+{\frac {45m^{2}}{32}}\right).$

En exprimant cette quantité par $-2\mathrm {F} \pi ,$ il faut, suivant Newton, pour avoir le mouvement sidéral du nœud, la multiplier par ${\frac {1}{1-\mathrm {F} }},$ ce qui donne, pour le moyen mouvement du nœud,

$-{\frac {3}{4}}m^{2}\upsilon \left(1-{\frac {3m}{8}}+{\frac {9m^{2}}{32}}\right).$

Newton ajoute à cette expression les termes de l’ordre $m^{4}$ qui résultent de ce que, en vertu de l’argument de la variation, le rayon vecteur de la Lune n’est pas constant et son mouvement n’est pas uniforme. Il trouve qu’il en résulte, dans le mouvement du nœud, la quantité

${\frac {3}{4}}m^{2}\upsilon \left(2x+{\frac {3}{4}}m^{2}\right),$

$x$ désignant ce que nous lui avons fait désigner dans le numéro précédent, ce qui donne le mouvement du nœud, suivant Newton, égal à

$-{\frac {3}{4}}m^{2}\upsilon \left(1-{\frac {3m}{8}}-2x-{\frac {15m^{2}}{32}}\right).$

L’expression de ce mouvement, donnée dans le n^o 13 du Livre VII, et qui a été vérifiée par divers géomètres, est, aux quantités près de l’ordre $m^{5},$

$-{\frac {3}{4}}m^{2}\upsilon \left(1-{\frac {3m}{8}}-{\frac {27}{32}}m^{2}-2x\right)\,;$

la différence de ces deux expressions est très-petite.

Pour avoir l’inégalité du mouvement du nœud. Newton fait usage de l’expression précédente $d\mathrm {N} ,$ qui, en l’intégrant et négligeant les quantités de l’ordre $m^{3}$ donne

$\mathrm {N} =-{\frac {3}{4}}m\varphi \left(1-{\frac {9}{8}}m\right)+{\frac {3}{8}}m\left(1-{\frac {3m}{2}}\right)\sin 2\varphi +{\frac {9m^{2}}{128}}\sin 4\varphi .$