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MÉCANIQUE CÉLESTE.

$r$ étant égal à ${\frac {\sqrt {1+s^{2}}}{u}}$ Ne considérons ici que cette partie de $\mathrm {Q} \,;$ on aura

${\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}{\frac {d\upsilon }{u^{2}}}=-{\frac {3ku^{2}\cos 3f\upsilon }{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}}d\upsilon .$

On a, par le n^o 4 du Livre VII,

${\begin{aligned}u=&{\frac {1}{h^{2}\left(1+\gamma ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {1+s^{2}}}+e\cos(c\upsilon -\varpi )\right],\\\\s=&\gamma \sin(g\upsilon -\theta )\,;\end{aligned}}$

négligeant donc les termes qui doivent rester insensibles après les intégrations, on aura

$2\int {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}{\frac {d\upsilon }{h^{2}u^{2}}}=-{\frac {2k}{h^{6}}}\left[{\begin{aligned}&\sin 3f\upsilon +{\frac {15\gamma ^{2}}{8}}{\frac {\sin(3f\upsilon -2g\upsilon +2\theta )}{3f-2g}}\\\\&+{\frac {9}{4}}{\frac {e\gamma ^{2}\sin(3f\upsilon -2g\upsilon -c\upsilon +2\theta +\varpi )}{3f-2g-c}}\end{aligned}}\right].$

En substituant pour $u$ sa valeur approchée

${\frac {1}{h^{2}\left(1+\gamma ^{2}\right)}}\left[1+{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}-{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}\cos(2g\upsilon -2\theta )\right],$

le terme

$\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial \upsilon ^{2}}}+u\right).2\int {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}{\frac {d\upsilon }{h^{2}u^{2}}}$

de la seconde des équations (L) du n^o 1 donnera ceux-ci :

$-{\frac {k}{h^{8}}}\left[{\frac {9}{2}}\gamma ^{2}\sin(3f\upsilon -2g\upsilon +2\theta )+{\frac {9}{2}}e\gamma ^{2}\sin(3f\upsilon -2g\upsilon -c\upsilon +2\theta +\varpi )\right]\,;$

on trouve de plus

${\begin{aligned}{\frac {du}{h^{2}u^{2}d\upsilon }}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}=&\ {\frac {3k\gamma ^{2}}{4h^{8}}}\sin(3f\upsilon -2g\upsilon +2\theta ),\\\\-{\frac {1}{h^{2}}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial u}}-{\frac {s}{h^{2}u}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}}=&{\frac {15k\gamma ^{2}}{4h^{8}}}\sin(3f\upsilon -2g\upsilon +2\theta .\end{aligned}}$

Tous ces termes réunis produisent, dans le second membre de la se-