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LIVRE XVI.

conde des équations (L) citées, le terme

$-{\frac {9}{2h^{8}}}{\frac {ke\gamma ^{2}\sin(3f\upsilon -2g\upsilon -c\upsilon +2\theta -\varpi )}{3f-2g-c}}.$

Il faut ajouter à ce membre le terme qui résulte de la variation de $u$ relative à l’angle $3f\upsilon -2g\upsilon ,$ dans le développement de la force perturbatrice. Représentons cette variation par

${\frac {1}{h^{2}\left(1+\gamma ^{2}\right)}}lk\sin(3f\upsilon -2g\upsilon +2\theta ),$

en sorte que la valeur précédente de $u$ devienne

$u={\frac {1}{h^{2}\left(1+\gamma ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {1+s^{2}}}+e\cos(c\upsilon -\varpi )+lk\cos \left(3f\upsilon -2g\upsilon +2\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)\right],$

$\pi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité. L’angle $3f\upsilon -2g\upsilon$ étant très-peu différent de $c\upsilon ,$ on peut considérer le terme

$lk\cos \left(3f\upsilon -2g\upsilon +2\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)$

comme étant relatif à une seconde équation du centre ; ainsi, de même que le terme $e\cos(c\upsilon -\varpi )$ a produit, dans le second membre de l’équation (L’) du n^o 9 du Livre VII, le terme

$-\left(1-c^{2}\right)e\cos(c\upsilon -\omega ),$

le terme

$lk\cos \left(3f\upsilon -2g\upsilon +2\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)$

y produira le terme

$-\left(1-c'^{2}\right)lk\cos \left(3f\upsilon -2g\upsilon +2\theta -{\frac {\pi }{2}}\right),$

$c'$ étant extrêmement peu différent de $c.$ Il lui serait même égal, si l’on faisait abstraction de la puissance $\left[e\cos(c\upsilon -\omega ))\right]^{3},$ qui provient du facteur-qui multiplie l’action perturbatrice du Soleil dans le mouvement lunaire ; car, en négligeant le carré de $k$ et ses puissances