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LIVRE XVI.

quièrent, par l’intégration de l’équation (L’) du n^o 9 du Livre VII, un très-petit diviseur.

Cela posé, en n’ayant égard qu’à la partie de $\mathrm {Q}$ dépendante de $k,$ on a

${\frac {1}{h^{2}u^{2}}}{\frac {ds}{d\upsilon }}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}-{\frac {s}{h^{2}u}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}-{\frac {1+s^{2}}{h^{2}u^{2}}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}}$

$=-{\frac {3k}{h^{6}}}\gamma e\cos \left(3f\upsilon -g\upsilon -c\upsilon +\theta +\varpi \right)-{\frac {3k}{h^{6}}}\gamma \cos \left(3f\upsilon -g\upsilon +\theta \right).$

Il faut donc ajouter ces deux derniers termes au second membre de la troisième des équations (L) du n^o 1 du Livre VII. Il faut ajouter encore à ce membre le terme qui résulte de la variation de $s$ relative à l’angle $3f\upsilon -g\upsilon -c\upsilon$ dans le développement de la force perturbatrice. Représentons cette variation par

$ik\cos(3f\upsilon -g\upsilon -c\upsilon +\theta +\varpi ).$

$3f\upsilon -g\upsilon -c\upsilon$ différant très-peu de $g\upsilon ,$ on peut considérer

$ik\sin \left(3f\upsilon -g\upsilon -c\upsilon +\theta +\varpi -{\frac {\pi }{2}}\right)$

comme appartenant à une seconde inclinaison de l’orbite. Ainsi, de même que le terme $\gamma \sin(g\upsilon -\theta )$ a produit dans l’équation (L") du n^o 13 du Livre VII le terme

$\left(g^{2}-1\right)\gamma \sin(g\upsilon -\theta ),$

le terme

$ik\sin \left(3f\upsilon -g\upsilon -c\upsilon +\theta +\varpi -{\frac {\pi }{2}}\right)$

y produira le terme

$\left(g'^{2}-1\right)ik\sin \left(3f\upsilon -g\upsilon -c\upsilon +\theta +\varpi -{\frac {\pi }{2}}\right),$

$g'$ étant extrêmement peu différent de $g.$ On aura leur différence en observant qu’elle vient du terme multiplié par $s^{2}$ dans le développement du second membre de la troisième des équations (L) du n^o 1 du