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MÉCANIQUE CÉLESTE.

Livre VII, et spécialement de sa partie

$-{\frac {s}{h^{2}u}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}-{\frac {1+s^{2}}{h^{2}u^{2}}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}},$

et il résulte, de l’expression de $\mathrm {Q}$ du n^o 3 du Livre VII, que cette partie donne dans ce second membre le terme $-3m^{2}h^{6}s^{3},$ ce qui produit, dans le second membre de l’équation (L") citée, le terme

$-{\frac {9}{4}}h^{6}m^{2}\gamma ^{2}.\gamma \sin(g\upsilon -\theta )\,;$

on a donc, en observant que $h$ est à très-peu près l’unité,

$g^{2}=g'^{2}-{\frac {9}{4}}m^{2}\gamma ^{2}\,;$

il faut donc ajouter à ce second membre le terme

$\left(g^{2}-1+{\frac {9}{4}}m^{2}\gamma ^{2}\right)ik\cos(3f\upsilon -g\upsilon -c\upsilon +\theta +\varpi ).$

La troisième des équations (L) citées donne ainsi, en ne considérant que les termes précédents dépendants de $k,$

${\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}s}{d\upsilon ^{2}}}+s+\left(g^{2}-1+{\frac {9}{4}}m^{2}\gamma ^{2}\right)ik\cos(3f\upsilon -g\upsilon -c\upsilon +\theta +\varpi )\\&-{\frac {3k}{h^{6}}}\gamma e\cos(3f\upsilon -g\upsilon -c\upsilon +\theta +\varpi )-{\frac {3}{h^{6}}}\gamma \cos(3f\upsilon -g\upsilon +\theta ).\end{aligned}}$

Ayant représenté par $ik\cos(3f\upsilon -g\upsilon -c\upsilon +\theta +\varpi )$ le terme de $s$ dépendant de l’angle $3f\upsilon -g\upsilon -c\upsilon ,$ l’équation précédente donnera

$0=ik\left[g^{2}+{\frac {9}{4}}m^{2}\gamma ^{2}-(3f\upsilon -g\upsilon -c\upsilon )^{2}\right]-{\frac {3k}{h^{6}}}\gamma e.$

Ainsi la variation de $s$ relative à l’angle $3f\upsilon -g\upsilon -c\upsilon$ est, à fort peu près,

$-{\frac {3k}{h^{6}}}{\frac {\gamma e\cos(3f\upsilon -g\upsilon -c\upsilon +\theta +\varpi )}{2(3f-2g-c)-{\frac {9}{4}}m^{2}\gamma ^{2}}}.$

$\gamma$ et $m$ sont des fractions du même ordre de petitesse, en sorte que ${\frac {9}{4}}m^{2}\gamma ^{2}$ est de l’ordre $m^{4}\,;$ il semble donc qu’on peut le négliger par