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roïde terrestre. La même somme relative au second sphéroïde est

${\frac {4\pi }{3r}}+4\alpha \pi \left({\frac {\mathrm {\overline {Y}} ^{(1)}}{3r^{2}}}+{\frac {\mathrm {\overline {Y}} ^{(2)}}{5r^{3}}}+{\frac {\mathrm {\overline {Y}} ^{(3)}}{7r^{4}}}+\ldots \right).$

La différence de ces deux quantités est

$4\alpha \pi \left({\frac {\mathrm {Y} ^{'(0)}}{r}}+{\frac {\mathrm {Y} ^{'(1)}}{3r^{2}}}+{\frac {\mathrm {Y} ^{'(2)}}{5r^{3}}}+{\frac {\mathrm {Y} ^{(3)}}{7r^{4}}}+\ldots \right).$

En nommant donc $\mathrm {V} ''$ la somme des molécules du second sphéroïde qui se relèvent au-dessus du premier, divisées par leurs distances respectives au point attiré, on aura

$\mathrm {V'=V''} +4\alpha \pi \left({\frac {\mathrm {Y} ^{'(0)}}{r}}+{\frac {\mathrm {Y} ^{'(1)}}{3r^{2}}}+{\frac {\mathrm {Y} ^{'(2)}}{5r^{3}}}+\ldots \right).$

L’équation précédente de l’équilibre de la mer deviendra ainsi

$(2)\left\{{\begin{aligned}\mathrm {const} .={\frac {4\pi }{3r}}\int \rho d.a^{3}&+4\alpha \pi \int \rho d\left({\frac {a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3r^{2}}}+{\frac {a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5r^{3}}}+{\frac {a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7r^{4}}}+\ldots \right)\\\\&+4\alpha \pi \left({\frac {\mathrm {Y} ^{'(0)}}{r}}+{\frac {\mathrm {Y} ^{'(1)}}{3r^{2}}}+{\frac {\mathrm {Y} ^{'(2)}}{5r^{3}}}+{\frac {\mathrm {Y} ^{(3)}}{7r^{4}}}+\ldots \right)\\\\&+\mathrm {V} ''-{\frac {\alpha \varphi }{2}}r^{2}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right){\frac {4}{3}}\pi \int \rho d.a^{3},\end{aligned}}\right.$

$r$ devant être supposé, après les intégrations, égal à $1+\alpha {\overline {y}}+\alpha y',$ et par conséquent égal à l’unité dans les termes multipliés par $\alpha$, puisqu’on néglige les termes de l’ordre $\alpha ^{2}.$

Cette équation a cela de remarquable, savoir, que la différentielle de son second membre, prise par rapport à $r$ et divisée par $-dr,$ est l’expression de la pesanteur, comme il résulte du n^o 33 du Livre III ; en nommant donc $p$ la pesanteur, on aura

$(3)\left\{{\begin{aligned}p={\frac {4\pi }{3r^{2}}}\int \rho d.a^{3}&+4\alpha \pi \int \rho d\left({\frac {2a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3r^{3}}}+{\frac {3a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5r^{4}}}+\ldots \right)\\\\&+4\alpha \pi \left({\frac {\mathrm {Y} ^{'(0)}}{r^{2}}}+{\frac {2\mathrm {Y} ^{'(1)}}{3r^{3}}}+{\frac {3\mathrm {Y} ^{'(2)}}{5r^{4}}}+\ldots \right)\\\\&-{\frac {\partial \mathrm {V} ''}{\partial r}}+\alpha \varphi r\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right){\frac {4}{3}}\pi \int \rho d.a^{3}.\end{aligned}}\right.$