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On a, par le n^o 10 du Livre III, à la surface de la mer,

(a)$\qquad \qquad \qquad \qquad 0=a{\frac {\partial \mathrm {V} ''}{\partial r}}+{\frac {1}{2}}V''.$

Cette équation remarquable étant très-utile pour ce qui va suivre, je vais en rappeler ici la démonstration.

Si l’on conçoit une sphère du rayon $a$ et dont la densité soit exprimée par l’unité, la somme de ses molécules divisées par leurs distances respectives à un point extérieur attiré, dont $r$ est la distance à son centre, sera, par le n^o 12 du Livre I^er, la masse de la sphère divisée par $r\,;$ en désignant donc par $\mathrm {V}$ cette somme, on aura

$V={\frac {4}{3}}\pi {\frac {a^{2}}{r}}.$

Maintenant, si l’on imagine une molécule $dm$ très-voisine de la surface de la sphère et à la distance $a'$ de son centre, sa distance au point attiré sera

${\sqrt {r^{2}-2a'r\cos \gamma +a'^{2}}},$

$\gamma$ étant l’angle compris entre $r$ et $a'.$ Le quotient de cette molécule divisée par sa distance au point attiré sera

${\frac {dm}{\sqrt {r^{2}-2a'r\cos \gamma +a'^{2}}}}.$

Nommons $\mathrm {V}$ ce quotient ; on aura

${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}=-{\frac {dm(r-a'\cos \gamma )}{\left(r^{2}-2a'r\cos \gamma +a'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$

ce qui donne

$r{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial r}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} =-{\frac {dm\left(r^{2}-a'^{2}\right)}{2\left[(r-a')^{2}+2a'r(1-\cos \gamma )\right]^{\frac {3}{2}}}},$

Si le point attiré est très-près de la surface de la sphère, ainsi que la molécule $dm$, alors $r^{2}-a'^{2}$ est une quantité insensible que l’on peut