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LIVRE XVI.

Je supposerai $\alpha r$ assez petit pour que l’on ait, à très-peu près,

$c^{-\alpha r}=1-\alpha r,$

et alors l’attraction précédente devient

${\frac {dm}{r^{2}}}(1-\alpha r).$

Je vais maintenant déterminer d’après cette loi l’attraction d’une sphère homogène dont le rayon est $\mathrm {R}$ sur un point $\mathrm {P}$ extérieur dont $r$ est la distance au centre de la sphère, et je supposerai $r$ très-grand par rapport à $\mathrm {R} .$

Soit $f$ la distance à $\mathrm {P}$ d’une molécule $dm$ de la sphère. Soit $q$ la partie de $f$ interceptée entre cette molécule et la surface de la sphère. Il est facile de voir que l’attraction de la molécule $dm$ sur $\mathrm {P}$ sera

${\frac {dm}{f^{2}}}(1-\alpha q).$

Cette attraction, décomposée parallèlement à $r,$ sera

${\frac {dm\cos \mathrm {V} }{f^{2}}}(1-\alpha q),$

$\mathrm {V}$ étant l’angle que $f$ forme avec $r$ et qui est supposé très-petit, la somme de toutes les quantités ${\frac {dm\cos \mathrm {V} }{f^{2}}}$ exprime l’attraction de la sphère entière sur le point $\mathrm {P}$ lorsque $\alpha$ est nul, et cette attraction est, comme l’on sait, égale à la masse de la sphère divisée par $r^{2}\,;$ elle est donc

${\frac {{\cfrac {4}{3}}\pi \mathrm {R} ^{3}}{r^{2}}},$

$\pi$ étant la circonférence dont le diamètre est l’unité.

Pour avoir la somme de toutes les quantités $-{\frac {\alpha qdm\cos \mathrm {V} }{f^{2}}},$ nous observerons que, $\alpha$ étant très-petit ainsi que $\mathrm {V}$, et $f$ différant extrêmement peu de $r,$ on peut supposer ici $\cos \mathrm {V} =1$ et $f=r,$ ce qui réduit