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MÉCANIQUE CÉLESTE.

la quantité précédente à celle-ci ;

$-{\frac {\alpha qdm}{r^{2}}},$

La ligne $q$ peut être supposée parallèle à $r\,;$ en nommant donc $u$ la distance mutuelle de ces deux lignes, et $\varpi$ l’angle formé par un plan fixe passant par $r$ et par un autre plan passant par $r$ et par $q$, on aura

$dm=udud\varpi dq,$

ce qui donne

$-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\int qdm=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\iiint udud\varpi qdq.$

Les intégrales doivent être prises depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =2\pi ,$ depuis $q=0$ jusqu’à $q=2\mathrm {Q,\ 2Q}$ étant la partie de la droite $f$ comprise dans la sphère ; enfin, depuis $u=0$ jusqu’à $u=\mathrm {R} .$ Il est visible que $\mathrm {Q^{2}=R^{2}} -u^{2}\,;$ on aura ainsi

$-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\int qdm=-{\frac {\alpha \pi \mathrm {R} ^{4}}{r^{2}}}.$

L’attraction de la sphère sur le point $\mathrm {P}$ sera donc

${\frac {4\pi }{3}}{\frac {\mathrm {R} ^{3}}{r^{2}}}\left(1-{\frac {3}{4}}\alpha \mathrm {R} \right).$

La réaction étant toujours égale à l’action, il est facile de voir que l’action de $\mathrm {P}$ sur le centre de la sphère sera

${\frac {\mathrm {P} }{r^{2}}}\left(1-{\frac {3}{4}}\alpha \mathrm {R} \right),$

$\mathrm {P}$ étant la masse du point.

Imaginons maintenant que ce point soit le Soleil, et que la sphère dont nous venons de parler soit la Terre ; concevons ensuite que la Lune soit une sphère homogène dont $\mathrm {R} '$ soit le rayon ;

${\frac {\mathrm {P} }{r^{2}}}\left(1-{\frac {3}{4}}\alpha '\mathrm {R} '\right)$