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SUPPLÉMENT AU V^e VOLUME.

Si l’on désigne par $\alpha ^{i}p^{(i)}$ le terme général du radical $\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ développé suivant les puissances de $\alpha ,$ on a, par le n^o 23 du Livre III de la Mécanique céleste,

(1)$\quad p^{(i)}={\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{1.2.3\ldots i}}$

$\times \left[\cos ^{i}\theta -{\frac {i(i-1)}{2(2i-1)}}\cos ^{i-2}\theta +{\frac {i(i-1)(i-2)(i-3)}{2.4(2i-1)(2i-3)}}\cos ^{i-4}\theta -\ldots \right]\,;$

lorsque $i$ est un grand nombre, cette expression contient un grand nombre de termes ; mais j’ai prouvé, dans le numéro cité du Livre XI, qu’alors elle se réduit, à très-peu près, à

${\frac {\cos \left[\left(i+{\frac {1}{2}}\right)\theta -{\frac {1}{4}}\pi \right]}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\pi i\sin \theta }}},$

$\pi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité. Je vais ici confirmer ce résultat singulier par une autre méthode.

On a, par les n^o 8 et 9 du Livre III de la Mécanique céleste,

(2)

$0=i(i+1)p^{(i)}+{\frac {d^{2}p^{(i)}}{d\theta }}+{\frac {dp^{(i)}}{d\theta ^{2}}}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\,;$

exprimons l’intégrale de cette équation par

$p^{(i)}=u\cos a\theta +u'\sin a\theta ,$

$u$ et $u'$ étant fonctions de $\theta$, et $a$ étant supposé égal à $\left[i(i+1)\right]^{\frac {1}{2}}.$ En substituant cette valeur dans l’équation (2), et comparant séparément les coefficients de $\sin a\theta$ et de $\cos a\theta ,$ on aura

${\begin{aligned}2{\frac {du}{d\theta }}+u{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=&{\frac {{\cfrac {d^{2}u'}{d\theta ^{2}}}+{\cfrac {du'}{d\theta }}{\cfrac {\cos \theta }{\sin \theta }}}{a}},\\2{\frac {du'}{d\theta }}+u'{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=&{\frac {-{\cfrac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}-{\cfrac {du}{d\theta }}{\cfrac {\cos \theta }{\sin \theta }}}{a}}.\end{aligned}}$

Ces équations donnent, en négligeant les termes divisés par $a$ et en les