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MÉCANIQUE CÉLESTE.

${\begin{aligned}&-{\frac {e^{4}}{1.2.3.2^{3}}}\left(4^{2}\cos 4t-4.2^{2}\cos 2t\right)\\&-{\frac {e^{5}}{1.2.3.4.2^{4}}}\left(5^{3}\cos 5t-5.3^{3}\cos 3t+{\frac {5.4}{1.2}}\cos t\right)\\&-{\frac {e^{6}}{1.2.3.4.5.2^{5}}}\left(6^{4}\cos 6t-6.4^{4}\cos 4t+{\frac {6.5}{1.2}}.2^{4}\cos 2t\right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Le terme général de cette expression est

$-{\frac {e^{i}}{1.2.3\ldots (i-1)2^{i-1}}}\left\{{\begin{aligned}&i^{i-1}\cos it-i(i-2)^{i-2}\cos(i-2)t\\&+{\frac {i(i-1)}{1.2}}(i-4)^{i-2}\cos(i-4)t\\&-{\frac {i(i-1)(i-2)}{1.2.3}}(i-6)^{i-2}\cos(i-6)t\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},$

la série étant continuée jusqu’à ce que l’on arrive à un facteur $(i-2r)^{i-2}$ dans lequel $i-2r$ soit négatif. Si l’on fait $t$ égal à un angle droit, ce terme devient nul lorsque $i$ est impair, et, dans le cas de $i$ pair, il devient, abstraction faite du signe, égal à

$(a)\ {\frac {e^{i}}{1.2.3\ldots (i-1)2^{i-1}}}\left[i^{i-2}+{\frac {i}{1}}(i-2)+{\frac {i(i-1)}{1.2}}(i-4)^{i-2}+\ldots \right].$

et il est alors le plus grand possible. Déterminons sa valeur lorsque $i$ est un très-grand nombre.

Il est facile de voir que les termes de la série

$(a')\qquad \qquad \qquad i^{i-2}+{\frac {i}{1}}(i-2)+{\frac {i(i-1)}{1.2}}(i-4)^{i-2}+\ldots$

vont d’abord en croissant, et qu’ils ont un maximum après lequel ils diminuent. À ce maximum, deux termes consécutifs sont, à très-peu près, égaux. Soit

${\frac {i(i-1)(i-2)\ldots (i-r+1)}{1.2.3\ldots r}}(i-2r)^{i-2}$