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SUPPLÉMENT AU V^e VOLUME.

nombre,

${\begin{aligned}1.2.3\ldots s=&s^{s+{\frac {1}{2}}}c^{-s{\sqrt {2\pi }}},\\1.2.3\ldots 2s=&(2s)^{2s+{\frac {1}{2}}}c^{-2s{\sqrt {2\pi }}}.\end{aligned}}$

On aura ainsi

$p^{(i)}=\pm {\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{2}}i\pi }}},$

ce qui donne

$\mathrm {C} ={\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{2}}i\pi }}}.$

L’expression générale de $p^{(i)}$ est donc

${\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{2}}i\pi \sin \theta }}}\cos \left[\left(i+{\frac {1}{2}}\right)\theta -{\frac {1}{4}}\pi \right].$

Sur le développement des coordonnées elliptiques,

2. L’excentricité des orbes elliptiques planétaires étant peu considérable, on développe le plus souvent le rayon vecteur et l’anomalie vraie en séries ordonnées suivant ses puissances. Mais si l’excentricité, qui, dans les orbes elliptiques, ne surpasse jamais l’unité, en devenait fort approchante, on conçoit que les séries pourraient cesser d’être convergentes. Il importe donc de connaître si, parmi les valeurs comprises entre zéro et l’unité que l’excentricité peut avoir, il en est une au-dessus de laquelle ces séries seraient divergentes, et, dans ce cas, de la déterminer. Prenons pour unité le demi-grand axe de l’ellipse ; désignons par $e$ son excentricité, par $t$ l’anomalie moyenne comptée du périgée, et par $\mathrm {R}$ le rayon vecteur ; on aura, par le n^o 22 du Livre II de la Mécanique céleste,

${\begin{aligned}\mathrm {R} =1+{\frac {e^{2}}{2}}&-e\cos t\\&-{\frac {e^{2}}{1.2}}\cos 2t\\&-{\frac {e^{3}}{1.2.2^{2}}}(3\cos 3t-3\cos t)\end{aligned}}$