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MÉCANIQUE CÉLESTE.

Si l’on nomme $p$ le terme maximum

${\frac {i(i-1)\ldots (i-r+1)}{1.2.3\ldots r}}(i-2r)^{i-2},$

le terme qui en est éloigné du rang $t$ sera

$p{\frac {(i-r)(i-r-1)\ldots (i-r-t-1)}{(r+1)(r+2)\ldots (r+t)}}\left({\frac {i-2r-2t}{i-2r}}\right)^{i-2}\,;$

son \logarithme sera donc

${\begin{aligned}\log p&+t\log(i-r)\\&+\log \left(1-{\frac {1}{i-r}}\right)+\log \left(1-{\frac {2}{i-r}}\right)+\ldots +\log \left(1-{\frac {t-1}{i-r}}\right)\\&-t\log r-\log \left(1+{\frac {1}{r}}\right)-\log \left(1+{\frac {2}{r}}\right)-\ldots -\log \left(1+{\frac {t}{r}}\right)\\&+(i-2)\log \left(1-{\frac {2t}{i-2r}}\right).\end{aligned}}$

En développant en séries ces \logarithmes et négligeant les termes de l’ordre ${\frac {1}{t^{2}}},$ on aura

${\begin{aligned}\log p&+t\log {\frac {i-r}{r}}-{\frac {1+2+3+\ldots +(t-1)}{i-r}}-{\frac {1+2+3+\ldots +t}{r}}\\&-(i-2)\left[{\frac {2t}{i-2r}}+{\frac {2t^{2}}{(i-2r)^{2}}}\right].\end{aligned}}$

Par la nature de $r,$ on a, à très-peu près, par ce qui précède,

$\log {\frac {i-r}{r}}+{\frac {1}{i-r}}=(i-2)\left[{\frac {2}{i-2r}}-{\frac {2}{(i-2r)^{2}}}\right]\,;$

la fonction précédente deviendra donc

$\log p-(1+2+3+\ldots +t){\frac {i}{r(i-r)}}-{\frac {(i-2)2.t(t+1)}{(i-2r)^{2}}}.$

En ne conservant ainsi, parmi les termes de l’ordre ${\frac {1}{i}},$ que ceux qui sont multipliés par $t^{2},$ et observant que

$1+2+3+\ldots +t={\frac {t^{2}+t}{2}},$