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SUPPLÉMENT AU V^e VOLUME.

cette fonction prendra la forme

$\log p-{\frac {i^{3}t^{2}}{2r(i-r)(i-2r)^{2}}},$

ce qui donne, pour le terme placé à la distance $t$ du terme $p,$

$p.c^{-{\frac {i^{3}t^{2}}{2r(i-r)(i-2r)^{2}}}}.$

Il est facile de s’assurer que cette même valeur a lieu, à très-peu près, pour le terme placé avant $p$ à la même distance. La somme de tous ces termes sera la série entière $(a').$ On aura, comme on sait, cette somme, à très-peu près, égale à

$p.\int dtc^{-{\frac {i^{3}t^{2}}{2r(i-r)(i-2r)^{2}}}},$

l’intégrale étant prise depuis $t=-\infty$ jusqu’à $t=\infty ,$ ce qui donne, par les méthodes connues, la série $(a')$ égale à

$p.{\sqrt {\pi }}{\frac {i-2r}{i}}{\sqrt {\frac {2r(i-r)}{i}}},$

$\pi$ étant la circonférence dont le diamètre est l’unité. On a

$p={\frac {1.2.3\ldots i.(i-2r)^{i-2}}{1.2.3\ldots (i-r).1.2.3\ldots r}}.$

La série $(a)$ devient ainsi, abstraction faite du signe,

${\frac {i(i-2r)^{i-2}{\sqrt {\pi }}}{1.2.3\ldots (i-r).1.2.3\ldots r}}.{\frac {i-2r}{i}}{\sqrt {\frac {2r(i-r)}{i}}}.{\frac {e^{i}}{2^{i-1}}}.$

On a, à très-peu près, par les théorèmes connus,

${\begin{aligned}1.2.3\ldots (i-r)=&(i-r)^{i-r+{\frac {1}{2}}}c^{-(i-r)}{\sqrt {2\pi }},\\1.2.3\ldots r=&r^{r+{\frac {1}{2}}}c^{-r}{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}$