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MÉCANIQUE CÉLESTE.

l’équation (\cosc) donnera donc

$(m)\qquad \qquad \qquad \qquad 1+{\sqrt {1+e^{2}}}=e.c^{\sqrt {1+e^{2}}}\,;$

les valeurs de $e$ supérieures à celle que cette équation donne rendent l’expression en série du rayon vecteur $\mathrm {R}$ divergente lorsque $t$ est un angle droit. Pour toutes les valeurs inférieures, cette série est convergente, quel que soit $t.$ En effet, le terme général de l’expression de $\mathrm {R}$, développée en série ordonnée par rapport aux puissances de l’excentricité, est, comme on l’a vu,

$-{\frac {e^{i}}{1.2.3\ldots (i-1).2^{i-1}}}\left[i^{i-2}\cos it-i(i-2)^{i-2}\cos(i-2)t+\ldots \right].$

La plus grande valeur de ce terme, abstraction faite du signe, ne peut surpasser

${\frac {e^{i}}{1.2.3\ldots (i-1).2^{i-1}}}\left[i^{i-2}+i(i-2)^{i-2}+{\frac {i(i-1)}{1.2}}(i-4)^{i-2}+\ldots \right].$

On vient de voir que cette valeur, lorsque $i$ est infini, devient nulle par un facteur moindre que l’unité élevé à la puissance $i,$ lorsque l’excentricité $e$ est au-dessous de celle qui résulte de l’équation aux limites ; la série est donc convergente, quel que soit $t.$ Je vais maintenant établir qu’alors la série de l’expression de l’anomalie vraie, développée de la même manière, est pareillement convergente.

3. L’anomalie excentrique étant $u,$ et $v$ l’anomalie vraie, on a, par le n^o 20 du Livre II de la Mécanique céleste,

${\begin{aligned}t=&u-e\sin u,\\\mathrm {R} =&1-e\cos u,\end{aligned}}$

ce qui donne

${\frac {du}{dt}}={\frac {1}{\mathrm {R} }}\,;$

or on a, par la loi des aires proportionnelles au temps,

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{\mathrm {R} ^{2}}}\,;$