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MÉCANIQUE CÉLESTE.

Car il est visible que le coefficient d’une puissance quelconque $e^{s}$ dans le développement de la fonction $(o)$ est positif, et qu’il est plus grand, abstraction faite du signe, que le coefficient de la même puissance dans le développement de ${\frac {du}{dt}}.$ L’expression de ${\frac {dv}{dt}}$ ou de $\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}$ est donc moindre que

$\left[\mathrm {A} +{\frac {2(1-2\omega )q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}(1-qe)}}\right]^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}\,;$

or le développement de ${\sqrt {1-e^{2}}}$ est moindre que celui de ${\frac {1}{1-e^{2}}}\,;$ le développement de ${\frac {dv}{dt}}$ est moindre que celui de

$(p)\qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\left[\mathrm {A} +{\frac {2(1-2\omega )q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}(1-qe)}}\right]^{2}}{1-e^{2}}}\,;$

c’est-à-dire que le coefficient d’une puissance quelconque $e^{s}$ dans le développement de cette fonction est positif et plus grand, abstraction faite du signe, que le coefficient de la même puissance dans le développement de ${\frac {dv}{dt}}.$

Donnons à la fonction $(p)$ cette forme

${\frac {\mathrm {A} ^{2}}{1-e^{2}}}+{\frac {4\mathrm {A} (1-2\omega )q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}(1-qe)(1-e^{2})}}+{\frac {2(1-2\omega )^{2}q^{2i}e^{2i}}{\pi (1-qe)^{2}(1-e^{2})}}.$

Le terme ${\frac {\mathrm {A} ^{2}}{1-e^{2}}}$ développé en série, donne une série convergente. Car, quelque grand que l’on suppose $i,$ pourvu qu’il soit fini, $\mathrm {A} ^{2}$ sera composé d’un nombre fini de termes. En désignant par $me^{i'}$ l’un de ces termes, ${\frac {me^{i'}}{1-e^{2}}}$ développé en série, donnera une série convergente, $e$ étant supposé moindre que l’unité. Ainsi ${\frac {\mathrm {A} ^{2}}{1-e^{2}}}$ donnera un nombre fini de séries convergentes, et, dans leur somme, le terme dépendant de $e^{s}$ deviendra nul lorsque $s$ est infini.

Le terme

${\frac {4\mathrm {A} (1-2\omega )q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}(1-qe)(1-e^{2})}}$